结论：工作是否稳定不能仅凭您目前的连续工作年限来判断，还需要考虑医院是否与您续签合同、是否存在违法解除合同的情形以及您是否符合签订无固定期限劳动合同的条件等多方面因素。以下为您详细分析：
一、合同签订情况对工作稳定性的影响
合同到期未续签：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 在您的情况下，如果医院在您之前的5年合同期满后未与您续签合同，但您仍然继续在医院工作，那么根据法律规定，医院应当在一个月内与您订立书面劳动合同。如果超过一个月未订立，医院需要向您支付双倍工资，并且您有权要求医院签订无固定期限劳动合同（如果您符合签订条件）。
无固定期限劳动合同的签订：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，劳动者在用人单位连续工作满十年的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 在您的情况下，由于您已经在医院连续工作了十二年，如果您提出或者同意续订劳动合同，且没有提出订立固定期限劳动合同的要求，那么医院应当与您订立无固定期限劳动合同。无固定期限劳动合同意味着除非出现法定解除情形，否则医院不能随意解除与您的劳动关系，这在一定程度上保障了您的工作稳定性。
二、医院违法解除合同对工作稳定性的影响
- 如果医院在没有合法理由的情况下解除与您的劳动合同，那么医院的行为构成违法解除。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，您有权要求医院继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的标准是按照您在单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
三、其他可能影响工作稳定性的因素
- 医院经营状况：如果医院经营不善、面临倒闭或者重组等情况，那么您的工作稳定性可能会受到影响。在这种情况下，即使您签订了无固定期限劳动合同，也可能因为医院的客观情况变化而面临失业的风险。
- 个人表现：您的工作表现、能力、态度等也会影响您在医院的工作稳定性。如果您在工作中表现出色、能力突出、态度积极，那么医院更可能愿意与您续签合同或者保持长期的劳动关系。
四、建议
- 与医院沟通：建议您与医院的人力资源部门或者相关负责人进行沟通，了解医院对您未来工作的安排和计划，以及是否愿意与您续签合同或者签订无固定期限劳动合同。
- 保留证据：建议您保留好与医院签订的劳动合同、工资单、工作证明等相关证据，以备不时之需。
- 关注法律动态：建议您关注相关的法律法规动态，了解自己的权益和义务，以便在必要时维护自己的合法权益。
如果您在合同签订、工作稳定性等方面有任何疑问或者需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。