结论：公司是否可以开除长时间请假不上班的员工且不赔偿，需视具体情况而定，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
公司规章制度与劳动合同的约定
- 如果公司的规章制度或劳动合同中明确规定了请假的流程、期限以及未按规定请假或超期未归的处理方式，且这些规定不违反法律法规的强制性规定，那么公司有权依据这些规定对员工进行处理。
- 若规章制度或合同中规定，长时间请假未获批准或超期未归属于严重违反公司规章制度的行为，公司可以解除劳动合同且不支付经济补偿。但在此案例中，公司已经同意请假，且未要求写请假单，因此这一条款可能不适用。
员工请假的原因与性质
- 如果员工请假是因为合理的、不可抗力的原因（如突发疾病、家庭紧急情况等），且已经向公司说明了情况并获得了公司的同意，那么公司通常不能随意开除员工。
- 若员工请假无正当理由，或请假后无正当理由长时间不归，且未与公司沟通，公司可能有权依据规章制度或劳动合同解除劳动合同。但在此案例中，公司已经同意请假，说明公司对员工的请假情况是知晓并接受的。
公司开除员工的合法性与程序
- 即使公司认为员工的行为违反了规章制度或劳动合同，要开除员工也必须遵循合法的程序，如提前通知、听取员工意见、进行工会或职工代表大会讨论等。
- 若公司未遵循合法程序开除员工，员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿的两倍，经济补偿则根据员工在公司的工作年限和月工资水平来确定。
特殊情况下的处理
- 如果员工请假时间过长，且公司因业务需要无法继续等待员工回归，公司可以与员工协商解除劳动合同，并支付相应的经济补偿。
- 若双方无法达成一致，公司不能单方面开除员工而不支付任何补偿，除非员工的行为确实构成了严重违反公司规章制度或劳动合同的情形。
建议：
- 对于员工而言，如果因特殊原因需要长时间请假，应提前与公司沟通并获得公司的同意，同时尽量按照公司的要求办理请假手续。
- 对于公司而言，如果员工已经获得请假同意但长时间未归，应先与员工沟通了解情况，再根据实际情况和公司规章制度作出处理决定。如果决定开除员工，必须确保处理决定合法合规，并支付相应的经济补偿（如果适用）。
后续行动：
- 如果您或公司面临此类情况，且对如何处理存在疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为您提供专业的法律建议。