发生交通事故后，家属不可以私自去查监控，但在符合法定条件和程序的情况下，有权申请查看相关监控录像。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律依据与程序要求
《道路交通事故处理程序规定》的相关规定：
- 根据《道路交通事故处理程序规定》第八十六条（部分版本为第六十五条，内容一致），当事人及其代理人收到道路交通事故认定书后，可以查阅、复制、摘录公安机关交通管理部门处理道路交通事故的证据材料，这包括监控录像。但涉及国家秘密、商业秘密或者个人隐私，以及应证人要求保密的内容除外。
- 若事故尚未结案，当事人及其代理人需向办案单位提交书面申请，经县级以上公安机关交通管理部门负责人批准后，方可查阅涉及本人的事故证据材料。
申请查看监控的程序：
- 提出申请：家属应向处理交通事故的公安机关提出书面申请，明确说明查看监控录像的目的和理由。
- 审查决定：公安机关在接到申请后，会进行审查，评估查看监控录像的必要性、合法性和可行性。若符合相关规定，将作出允许查看的决定；若不符合，将说明理由并告知申请人。
- 查看安排：在获得许可后，家属应在指定时间、地点，按照公安机关的要求和规定查看监控录像。
二、实际操作中的注意事项
及时报案与保留证据：
- 事故发生后应立即报警，由交警部门介入调查并固定现场证据。
- 家属可通过交警部门获取监控录像等关键证据，避免自行调取可能遇到的困难，如权限不足、技术障碍等。
配合交警部门工作：
- 积极配合交警部门的调查取证工作，包括提供证人证言、车辆信息等。
- 通过合法途径申请查阅监控录像，确保程序合规性，避免因程序不当而影响证据的效力。
注意隐私保护与合法性边界：
- 监控录像可能涉及其他公民隐私或商业机密，未经许可不得擅自传播或使用。
- 若发现监控存在篡改、损毁等问题，应及时向交警部门反映并要求重新调查，以确保证据的真实性和完整性。
三、特殊情况处理
敏感信息保护：
- 如果监控录像涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私等敏感信息，公安机关可能会拒绝或限制家属的查看申请，以保护相关信息的安全和隐私。
案件侦查阶段：
- 如果案件正在侦查阶段，公安机关出于保密需要，也可能会暂时拒绝家属的查看申请。但在案件进入诉讼阶段后，家属可通过法律程序申请查看。
四、法律后果与建议
- 法律后果：若家属私自调取监控录像，可能面临侵犯他人隐私、商业秘密或国家秘密等法律责任，甚至可能因证据来源不合法而被法院排除。
- 建议：家属在申请查看监控录像时，应严格遵守法定程序和要求，确保自身行为的合法性和合规性。如有任何疑问或困难，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。
综上所述，家属在交通事故后有权申请查看监控录像，但这一权利并非绝对无条件。家属需要遵循一定的程序和规定，并在必要时寻求专业法律帮助来确保自身权益的实现。