结论：学校厨师作为全日制劳动关系下的员工，寒暑假期间不发工资一般是不合法的，但具体还需根据劳动合同的约定以及学校的实际情况来判断。
分析说明：
全日制劳动关系的工资支付原则：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，全日制劳动关系下的员工，其工资应当按照劳动合同的约定，按月足额支付。这意味着，无论员工是否在工作日工作，只要其处于劳动关系存续期间，用人单位都应当支付工资。
寒暑假期间的工资支付情况：
- 对于学校厨师这类员工，寒暑假期间虽然可能没有实际的工作任务，但其劳动关系并未因此解除或终止。因此，从法律原则上讲，学校应当继续支付工资。
- 然而，也存在一些特殊情况。例如，如果劳动合同中明确约定了寒暑假期间不支付工资，或者学校与厨师之间达成了某种特殊的协议（如寒暑假期间厨师自愿不领取工资以换取其他福利或安排），那么这种情况下不发工资可能是合法的。但这种情况需要双方有明确的约定，并且该约定不违反法律法规的强制性规定。
学校的实际情况与工资支付：
- 学校作为事业单位或教育机构，其工资支付制度可能受到相关政策或规定的影响。但无论如何，这些政策或规定都不能违反《中华人民共和国劳动法》等法律法规的基本原则。
- 如果学校确实因为经济困难或其他特殊原因无法支付寒暑假期间的工资，应当与厨师进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。例如，可以协商分期支付、延迟支付或提供其他形式的补偿等。
法律建议：
- 如果学校厨师在寒暑假期间没有收到工资，首先应当查看劳动合同中是否有相关约定。如果没有约定或约定不明确，可以与学校进行沟通协商，要求学校按照法律规定支付工资。
- 如果沟通协商无果，厨师可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
后续行动指南：
- 在与学校沟通协商时，建议厨师保留好相关证据（如劳动合同、工资条、工作记录等），以便在需要时证明自己的权益。
- 如果决定投诉或申请劳动仲裁，建议咨询专业律师或法律援助机构，以获取更具体的法律指导和帮助。
特殊场景提醒：
- 如果厨师与学校之间存在特殊的协议或约定（如寒暑假期间自愿不领取工资），应当确保该协议或约定是双方真实意思的表示，并且不违反法律法规的强制性规定。否则，该协议或约定可能无效，厨师仍然有权要求学校支付工资。