结论：出租车司机因病死亡后，挂靠的出租公司是否赔偿，需根据具体情况判断，主要看司机与公司之间是劳动关系还是挂靠关系，以及公司是否存在过错或法定赔偿义务。以下从不同角度详细分析：
一、劳动关系与挂靠关系的区分
劳动关系：
- 如果出租车司机与出租公司之间签订了劳动合同，形成了劳动关系，那么司机因病死亡可能构成工伤（如果死亡与工作有关，如因工作劳累导致疾病突发等，但通常因病死亡不直接认定为工伤，除非符合特定条件如48小时内抢救无效死亡等）。
- 在劳动关系下，如果司机死亡被认定为工伤，出租公司需按照《工伤保险条例》的规定支付工伤赔偿，包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
挂靠关系：
- 如果出租车司机与出租公司之间是挂靠关系，即司机以公司的名义运营，但实际与公司没有劳动关系，而是基于挂靠协议进行合作。
- 在挂靠关系下，出租公司通常不承担司机因病死亡的赔偿责任，除非挂靠协议中有特别约定，或者公司存在过错（如未提供必要的安全保障措施等）导致司机死亡。
二、公司过错与法定赔偿义务
公司过错：
- 如果出租公司在司机运营过程中存在过错，如未提供符合安全标准的车辆、未进行必要的安全培训、未履行安全保障义务等，导致司机因病死亡（虽然因病死亡与直接过错关系不大，但如果是因公司提供的条件不佳导致疾病加重或突发等，可能构成间接过错），公司可能需要承担相应的赔偿责任。
法定赔偿义务：
- 除了工伤赔偿外，如果司机死亡符合其他法定赔偿条件（如公司侵权导致死亡等），出租公司也可能需要承担赔偿责任。但这种情况在因病死亡中较为罕见，通常需要证明公司行为与司机死亡之间存在直接的因果关系。
三、实际案例与司法实践
- 在司法实践中，出租车司机因病死亡后，挂靠的出租公司是否赔偿往往取决于具体案情和证据。如果司机家属能够证明公司存在过错或法定赔偿义务，那么公司可能需要承担赔偿责任。
- 另一方面，如果司机与公司之间是挂靠关系，且公司没有过错或法定赔偿义务，那么公司通常不需要承担赔偿责任。
四、建议与行动
收集证据：
- 司机家属应收集与司机死亡相关的所有证据，包括医疗记录、挂靠协议、公司规章制度等，以证明公司是否存在过错或法定赔偿义务。
咨询专业律师：
- 由于每个案件的具体情况都不同，建议司机家属咨询专业律师（即向我咨询，我专注于此类法律纠纷），以便根据具体情况制定合适的维权策略。
协商与诉讼：
- 在收集足够证据后，司机家属可以与公司进行协商，寻求和解或赔偿。如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决纠纷，如提起民事诉讼等。
总结：出租车司机因病死亡后，挂靠的出租公司是否赔偿需根据具体情况判断。如果司机与公司之间是劳动关系且死亡被认定为工伤，公司需支付工伤赔偿；如果是挂靠关系且公司没有过错或法定赔偿义务，公司通常不需要承担赔偿责任。建议司机家属收集证据并咨询专业律师以制定合适的维权策略。