结论前置：
- 在一般情况下，第三次签订劳动合同时，用人单位并非必须续签，但在特定条件下（如劳动者无过错且提出续订无固定期限劳动合同），用人单位有义务续签无固定期限劳动合同。
- 用人单位在特定情形下（如劳动者存在法定过错、客观情况发生重大变化等）有权选择不续签，但需依法支付经济补偿金。
详细分析：
一、法定续签要求及用人单位的义务
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，当用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度、失职等）和第四十条第一项（患病或非因工负伤无法工作）、第二项（不能胜任工作）规定的情形时，如果劳动者提出或同意续订、订立劳动合同，并且未提出订立固定期限劳动合同的要求，那么用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
具体解释：
- 在满足上述条件的情况下，用人单位有义务与劳动者签订无固定期限劳动合同，以确保劳动者的职业稳定性和连续性。
- 如果用人单位违反这一规定，拒绝与劳动者续签无固定期限劳动合同，那么用人单位的行为将构成违法，劳动者有权要求用人单位支付违法终止劳动合同的赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。
二、用人单位的选择权及特定情形下的不续签
尽管法律对用人单位在第三次签订劳动合同时的续签义务有明确规定，但用人单位在特定情形下仍享有选择权，可以选择不续签劳动合同。这些特定情形包括但不限于：
劳动者存在法定过错：
- 如劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职给单位造成重大损害等，用人单位即便在第三次续签阶段也有权依法不续签。
客观情况发生重大变化：
- 根据《劳动合同法》第四十条第三项，若劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议，用人单位可解除劳动合同。
用人单位经营困难：
- 根据《劳动合同法》第四十一条，若用人单位因生产经营发生严重困难、企业转产、重大技术革新等原因需要裁减人员，且符合法定程序，可在第三次合同续签时选择不续签。
经济补偿问题：
- 若用人单位决定不再与劳动者续签合同，应在合同期满前通知劳动者，并按照法律规定支付经济补偿金。经济补偿的标准通常依据劳动者在用人单位的工作年限和月工资来确定，具体为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、双方协商的可能性
- 尽管法律有明确规定，但若双方通过友好协商达成一致意见，用人单位有权选择不与劳动者续签劳动合同。这种协商必须基于双方自愿和平等的原则。
- 若用人单位无正当理由拒绝续签，属于违法解除劳动合同，需向劳动者支付经济补偿金或赔偿金，以承担相应法律责任。
建议与总结：
- 对于劳动者：在第三次签订劳动合同时，应了解自己的权益和用人单位的义务，确保自己的合法权益不受侵害。如果用人单位拒绝续签无固定期限劳动合同，且自己符合法定条件，可以依法维护自己的权益。
- 对于用人单位：在处理第三次劳动合同续签问题时，应充分了解并遵守《劳动合同法》的相关规定，平衡好公司利益与劳动者权益之间的关系。在特定情形下，用人单位有权选择不续签，但必须与劳动者进行充分沟通并遵守相关法律程序，确保决策过程的合法性和公正性。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。