结论：在私人老板工资合同约定金额少于口头承诺且无口头承诺证据的情况下，可通过收集其他间接证据证明口头约定内容，先尝试与老板协商，协商不成可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维权。以下是具体分析：
证据收集方面
- 寻找间接证据
- 虽然口头答应的直接证据难以获取，但可以尝试收集一些间接证据来证明老板曾做出过高于合同工资的承诺。例如，与老板讨论工资问题的短信、微信聊天记录，其中可能提及工资的具体数额或调整情况；如果有同事知晓此事，同事的证人证言也可以作为辅助证据，不过证人需要出庭作证并接受双方质证；还可以查找是否有工作期间的邮件往来，其中涉及工资相关内容。
- 另外，工作记录也可以在一定程度上辅助证明。比如详细的工作任务安排、工作成果汇报等，如果能体现出你的工作量和工作价值远超合同工资所对应的水平，结合行业普遍工资标准，也能从侧面说明口头承诺的合理性。
- 保留现有证据
- 确保劳动合同原件妥善保存，这是证明你与老板之间劳动关系以及基础工资约定的重要文件。同时，保留好工资条、银行工资流水等，这些能证明老板实际发放工资的金额，与合同工资进行对比，显示出差异。
维权途径方面
- 协商解决
- 在收集到一定证据后，可以尝试与老板进行友好协商。向老板明确指出合同工资与口头承诺的差异，并出示你所收集到的相关证据，要求老板按照口头承诺补发工资差额。协商过程中要注意保留沟通记录，如录音、聊天记录等，以防后续出现纠纷。
- 向劳动监察部门投诉
- 如果协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的工资支付情况进行监督检查。你需要向劳动监察部门提交书面投诉材料，详细说明情况，包括劳动合同约定工资、口头承诺工资、实际发放工资以及所收集到的相关证据等。劳动监察部门会进行调查核实，如果查实老板存在拖欠工资等违法行为，会责令老板限期支付工资，并可能对其进行行政处罚。
- 申请劳动仲裁
- 劳动仲裁是解决劳动争议的重要途径。你可以向劳动合同履行地或者用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，需要提交仲裁申请书、劳动合同、相关证据材料等。仲裁委员会会受理案件并进行审理，根据双方提供的证据和陈述作出裁决。如果对仲裁裁决不服，还可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。不过，需要注意的是，劳动仲裁有一定的时效规定，一般为知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，所以要及时行使自己的权利。