不认可遗嘱时，相关主体可能承担的法律责任主要涉及民事责任，特定情况下也可能涉及刑事责任，具体分析如下：
一、民事责任
遗嘱无效导致的民事责任
- 情形：若遗嘱因形式要件缺失（如未签字、未见证等）、内容违法（如违反公序良俗、剥夺缺乏劳动能力又无生活来源的继承人的继承权等）或立遗嘱人无民事行为能力等原因被认定无效，遗嘱继承人可能无法按遗嘱继承财产。
- 责任：此时，遗产将按法定继承处理。若遗嘱继承人已实际占有遗产，可能需返还给其他法定继承人；若因遗嘱无效导致其他继承人损失，还可能需承担赔偿责任。
- 例子：老张立遗嘱将房产留给小儿子，但遗嘱未签字。老张去世后，遗嘱被认定无效，房产按法定继承由所有子女平分。若小儿子已入住房产，则需将房产折价返还给其他子女。
遗嘱被撤销或变更导致的民事责任
- 情形：立遗嘱人在生前可随时撤销或变更遗嘱。若遗嘱继承人基于原遗嘱产生了合理信赖并为此付出了代价（如放弃了其他继承机会），但遗嘱被撤销或变更，遗嘱继承人可能面临损失。
- 责任：一般情况下，遗嘱继承人无权要求立遗嘱人赔偿。但若立遗嘱人故意隐瞒遗嘱撤销或变更的事实，导致遗嘱继承人遭受重大损失，可能构成欺诈，遗嘱继承人可要求赔偿。
- 例子：老李立遗嘱将存款留给大儿子，并告知大儿子。后老李改变主意，将存款留给小儿子，但未告知大儿子。大儿子基于原遗嘱放弃了其他继承机会。老李去世后，大儿子发现遗嘱被变更，若能证明老李故意隐瞒，可要求赔偿。
遗嘱执行中的民事责任
- 情形：遗嘱执行人负责按照遗嘱分配遗产。若遗嘱执行人故意不执行或错误执行遗嘱，导致遗嘱继承人或其他利害关系人损失。
- 责任：遗嘱执行人需承担赔偿责任。
- 例子：老王立遗嘱将房产留给孙子，并指定儿子为遗嘱执行人。儿子却将房产卖给了他人，导致孙子无法继承。孙子可要求儿子赔偿房产价值。
二、刑事责任（特定情况下）
遗嘱伪造、篡改导致的刑事责任
- 情形：若有人伪造、篡改遗嘱，情节严重，可能构成犯罪。
- 责任：根据《刑法》相关规定，伪造、篡改遗嘱，情节严重的，可处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
- 例子：老赵去世后，其子女发现遗嘱被篡改，将原本留给大儿子的房产改为了留给小儿子。经调查，是小儿子所为。小儿子可能因伪造、篡改遗嘱被追究刑事责任。
遗嘱执行中的职务侵占或贪污（如涉及遗产管理机构或人员）
- 情形：若遗嘱执行人或遗产管理机构人员利用职务之便，侵占或贪污遗产，可能构成犯罪。
- 责任：根据《刑法》相关规定，职务侵占或贪污数额较大的，可处有期徒刑、拘役或罚金；数额巨大的，可处更重的刑罚。
- 例子：某遗产管理机构负责分配老钱的遗产。机构人员利用职务之便，将部分遗产据为己有。该人员可能因职务侵占或贪污被追究刑事责任。
总结与建议：不认可遗嘱时，相关主体可能承担的法律责任主要涉及民事责任，特定情况下也可能涉及刑事责任。若您对遗嘱的真实性、有效性或执行有疑问，建议及时咨询专业律师，通过法律途径维护自己的合法权益。作为张运律师，我专注于婚姻家庭领域的法律事务，包括家庭财产纠纷、遗嘱继承等。若您有相关问题，可以直接向我咨询。