结论：在此事件中，外卖员和顾客可能都需要承担一定的责任，具体责任划分需根据双方过错程度、伤害后果等因素综合判断。以下从不同角度进行分析：
一、外卖员的责任
辱骂行为的法律性质：
- 外卖员辱骂顾客，属于对顾客人格权的侵犯，具体可能涉及名誉权、人格尊严权等。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有名誉权、人格尊严权等权利，任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权、人格尊严权。
外卖员可能承担的责任：
- 如果辱骂行为情节较轻，顾客可以选择要求外卖员赔礼道歉、消除影响等民事责任。
- 如果辱骂行为情节严重，构成侮辱罪或诽谤罪（需满足刑事立案标准），外卖员可能面临刑事责任的追究。不过，在一般情况下，辱骂行为更多是通过民事途径解决。
二、顾客的责任
打伤行为的法律性质：
- 顾客因外卖员辱骂而打伤外卖员，属于故意伤害行为。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。如果伤害后果严重，如构成重伤或死亡，顾客将面临更严厉的刑事处罚。
顾客可能承担的责任：
- 刑事责任：如上述所述，如果顾客的打伤行为构成故意伤害罪，将面临刑事责任的追究。
- 民事责任：无论顾客是否构成犯罪，都需要对外卖员因伤害所遭受的损失（如医疗费、误工费等）承担民事赔偿责任。
三、责任划分与综合考虑
过错程度：
- 在划分责任时，会考虑双方的过错程度。外卖员的辱骂行为是事件的起因，顾客的打伤行为是事件的后果。如果外卖员的辱骂行为较为严重，顾客的打伤行为相对较轻，那么外卖员可能需要承担更大的责任；反之亦然。
伤害后果：
- 伤害后果也是划分责任的重要因素。如果外卖员的伤害后果严重，如构成重伤或死亡，顾客的责任将相对较大；如果伤害后果较轻，如轻微伤或未构成伤害，顾客的责任将相对较小。
综合判断：
- 在实际案件中，法院会综合考虑双方的过错程度、伤害后果、行为方式等因素，来划分双方的责任比例。因此，无法简单地给出“谁负责”的明确答案，而是需要根据具体情况进行综合判断。
建议：在此类事件中，建议双方保持冷静，通过合法途径解决纠纷。如果外卖员辱骂顾客，顾客可以选择向外卖平台投诉或报警处理；如果顾客打伤外卖员，外卖员应及时就医并报警处理。在处理过程中，双方应积极配合相关部门的调查工作，以便更好地维护自己的合法权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。