结论：员工上班第一天因疾病住院，公司是否有责任需根据具体情况判断，主要取决于疾病是否与工作相关以及公司是否尽到了相应的义务。以下从不同角度进行分析：
一、疾病是否与工作相关
若疾病与工作无直接关联：
- 一般情况：如果员工所患疾病并非由于工作原因导致，例如员工本身患有慢性疾病或突发急性疾病，且该疾病与工作环境、工作任务等无直接联系，那么公司通常不承担直接的法律责任。
- 例外情况：然而，如果公司存在未提供必要劳动保护条件、未进行必要健康检查等过错，且这些过错与员工疾病的发生或加重有一定关联，公司可能需要承担相应的过错责任。但这种情况较为特殊，需要具体证据支持。
若疾病与工作有直接关联：
- 工伤认定：如果员工在上班第一天因工作原因（如工作强度过大、工作环境恶劣等）导致疾病发作或加重，且该疾病符合《工伤保险条例》中关于工伤的定义，那么员工有权申请工伤认定，并享受相应的工伤保险待遇。此时，公司需承担工伤保险责任。
- 举证责任：员工需提供证据证明疾病与工作之间的直接关联性，如医疗证明、工作记录等。公司则有权进行抗辩，并提供相反证据。
二、公司是否尽到了相应义务
- 劳动保护义务：公司有义务为员工提供安全、健康的工作环境，并采取必要的劳动保护措施。如果公司未履行这一义务，导致员工因疾病住院，公司可能需要承担相应的法律责任。
- 健康检查义务：对于某些特定岗位或存在健康风险的员工，公司有义务进行必要的健康检查。如果公司未进行健康检查或未告知员工健康风险，导致员工因疾病住院，公司也可能需要承担责任。
三、法律建议
对于员工：
- 如果认为疾病与工作相关，应及时收集证据并申请工伤认定。
- 如果公司未履行相应义务，可向劳动监察部门投诉或寻求法律援助。
对于公司：
- 应加强劳动保护措施，确保员工工作环境安全、健康。
- 对特定岗位员工进行必要的健康检查，并告知健康风险。
- 在员工因疾病住院时，积极与员工沟通，了解病情并协商解决方案。
后续行动建议：若您或您身边的人遇到此类情况，建议首先收集相关证据（如医疗证明、工作记录等），然后根据实际情况选择申请工伤认定、向劳动监察部门投诉或寻求法律援助等途径维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。