结论：员工仅上一天班，尚未构成正式的劳动合同关系，但在此期间因病住院，公司是否应承担责任，需根据具体情况分析，主要包括是否构成事实劳动关系以及公司是否存在过错等角度。
一、是否构成事实劳动关系
事实劳动关系的认定：
- 事实劳动关系是指用人单位与劳动者之间虽未签订书面劳动合同，但双方实际履行了劳动权利义务而形成的劳动关系。
- 根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》等相关规定，认定事实劳动关系通常需要考虑劳动者是否实际接受用人单位的管理、指挥或监督，劳动者提供的劳动是否是用人单位业务的组成部分，以及用人单位是否向劳动者提供基本劳动条件等因素。
仅上一天班的情况：
- 在员工仅上一天班的情况下，如果双方已经实际履行了劳动权利义务，如员工接受了公司的管理、提供了劳动，且公司支付了相应的劳动报酬（即使仅一天），那么有可能构成事实劳动关系。
- 但如果仅凭一天的工作难以证明双方存在长期、稳定的劳动关系意图，且未形成持续的工作状态和管理关系，则可能难以认定为事实劳动关系。
二、公司是否存在过错
公司过错与责任：
- 如果公司存在过错，如未提供安全的工作环境、未进行必要的职业健康检查等，导致员工因病住院，那么公司可能需要承担相应的赔偿责任。
- 但如果员工因自身原因（如突发疾病、既往病史等）住院，且公司无过错，则公司通常无需承担赔偿责任。
具体情境分析：
- 在员工仅上一天班的情况下，如果员工住院是由于公司的工作环境、工作强度或公司未履行相关义务（如未提供必要的劳动保护用品）导致的，那么公司可能需要承担一定的责任。
- 如果员工住院是由于个人原因（如自身疾病、意外等）且与公司无关，则公司通常无需承担责任。
三、建议与措施
对于员工：
- 如果员工认为公司应承担责任，可以收集相关证据（如工作记录、医疗证明、公司过错证明等）来支持自己的主张。
- 可以尝试与公司协商解决，如果协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
对于公司：
- 公司应审查自身是否存在过错，并评估是否需要承担责任。
- 如果公司认为无需承担责任，应准备好相关证据来支持自己的立场，并积极应对可能的劳动争议。
- 公司应加强劳动管理，完善劳动合同制度，避免类似纠纷的发生。
总结：员工仅上一天班因病住院，公司是否应承担责任需根据具体情况分析。如果构成事实劳动关系且公司存在过错，公司可能需要承担赔偿责任；如果未构成事实劳动关系或公司无过错，则公司通常无需承担责任。在处理此类纠纷时，建议双方积极收集证据并寻求专业法律意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。