结论：针对您描述的学校老师劳务派遣每三年更换一家公司签订合同，且已工作九年的情况，这可能涉及到劳务派遣的合法性、劳动合同的连续性以及劳动者权益保护等多个方面。以下是从不同角度对此问题的详细分析。
一、劳务派遣的合法性
劳务派遣的定义与限制：
- 劳务派遣是指由劳务派遣单位与被派遣劳动者订立劳动合同，将劳动者派向用工单位从事劳动的一种用工形式。
- 根据《劳动合同法》的规定，劳务派遣一般在临时性、辅助性或者替代性的工作岗位上实施。如果学校长期使用劳务派遣教师，且这些岗位并非临时性、辅助性或替代性，那么这种做法可能违反了法律规定。
劳务派遣单位的资质：
- 劳务派遣单位应当依照公司法的有关规定设立，注册资本不得少于一定金额（具体根据最新法律规定调整），并具备相应的经营资质。
- 如果学校合作的劳务派遣单位不具备合法资质，那么这种劳务派遣关系也是不合法的。
二、劳动合同的连续性
劳动合同的签订与变更：
- 根据《劳动合同法》的规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。劳动合同的变更应当遵循平等自愿、协商一致的原则。
- 如果学校每三年更换一家劳务派遣公司，并要求您重新签订劳动合同，这实际上构成了劳动合同的变更或重新签订。您有权了解变更的原因，并有权根据自己的意愿决定是否接受。
工作年限的计算：
- 在劳务派遣关系中，劳动者的工作年限应当连续计算。即使您每三年更换一家劳务派遣公司，只要这些公司都是与学校合作的，且您的工作岗位、工作内容没有发生实质性变化，那么您的工作年限应当连续计算。
- 工作年限的连续计算对于劳动者的权益保护至关重要，它关系到劳动者的经济补偿、年假、工龄工资等福利待遇。
三、劳动者权益保护
同工同酬：
- 根据《劳动合同法》的规定，被派遣劳动者享有与用工单位的劳动者同工同酬的权利。用工单位应当按照同工同酬原则，对被派遣劳动者与本单位同类岗位的劳动者实行相同的劳动报酬分配办法。
- 如果学校或劳务派遣公司存在同工不同酬的情况，您有权要求纠正，并可以依法维护自己的合法权益。
社会保险与福利待遇：
- 劳务派遣单位应当依法为被派遣劳动者缴纳社会保险费，并办理社会保险相关手续。
- 您有权享受与用工单位劳动者相同的福利待遇，如年假、病假、产假等。
四、建议与行动
了解情况：
- 首先，建议您向学校或劳务派遣公司了解更换合同的具体原因，以及新合同与旧合同在条款上有何不同。
协商沟通：
- 如果您对更换合同有异议，可以与学校或劳务派遣公司进行协商沟通，表达自己的诉求和关切。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，或者您认为自己的合法权益受到了侵害，可以寻求法律援助或咨询专业律师（即我本人，贾志波律师，专注于劳动纠纷领域），了解自己的法律权益和维权途径。
保留证据：
- 在整个过程中，建议您保留好与学校、劳务派遣公司签订的劳动合同、工资单、工作证明等相关证据，以备不时之需。
最后，劳务派遣关系中的劳动者权益保护是一个复杂而重要的问题。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律建议和支持。