针对您提出的“公司和员工没有签劳动合同，员工起诉公司可以如何赔偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、公司需承担的法律责任
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，若公司未与员工签订书面劳动合同，将可能面临以下法律责任：
支付双倍工资：
- 法律依据：依据《劳动合同法》第八十二条，公司自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同的，需向员工每月支付二倍的工资。
- 计算方式：双倍工资的计算基数通常是员工当月应得工资（不包括支付周期超过一个月的劳动报酬，如季度奖、年终奖等，以及未确定支付周期的劳动报酬，如一次性奖金、特殊津贴等）。起算时间从用工之日起满一个月的次日开始，截止时间为补订书面劳动合同的前一日，或自用工之日起满一年的前一日（若满一年仍未签订）。
- 赔偿限额：双倍工资的赔偿最长持续十一个月，即从用工之日起满一年起，公司需与员工签订无固定期限劳动合同，此时不再适用双倍工资赔偿。
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 法律依据：依据《劳动合同法》第十四条第三款，公司自用工之日起满一年不与员工签订书面劳动合同的，视为双方已订立无固定期限劳动合同。
- 法律后果：一旦视为已订立无固定期限劳动合同，除非出现法定解除情形，否则公司不得随意解除劳动合同，否则将面临更为严格的法律责任。
二、员工应如何主张权益
保存证据：
- 员工应保存好与公司存在劳动关系的相关证据，如工作记录、薪资发放记录、通讯记录、入职登记表等，以证明双方存在劳动关系及对权利义务的约定。
及时维权：
- 员工应在知道或应当知道其权利被侵害之日起一年内，向劳动仲裁委员会提起劳动仲裁，主张未签劳动合同的双倍工资赔偿。
咨询专业人士：
- 由于劳动争议案件可能涉及复杂的法律问题，建议员工在维权过程中咨询法律专业人士，以获取针对个人情况的准确信息和专业指导。
三、公司应对措施
寻找证据证明签订过合同：
- 若公司确实签订了劳动合同但合同丢失或员工否认，公司应积极寻找其他证据，如合同复印件、电子合同、入职时的签字确认文件等，以证明双方已签订书面劳动合同。
证明未签合同责任在员工：
- 如果是员工拒绝签订书面劳动合同，公司应提供相关证据，如书面通知记录、谈话录音等，证明公司已尽到签订合同的义务，而员工拒绝签订。根据法律规定，若员工在一个月内经书面通知后仍拒绝签订合同，公司可终止劳动关系且无需支付经济补偿（但需支付实际工作时间的劳动报酬）。
综上所述，公司未与员工签订劳动合同将承担支付双倍工资及可能被视为已订立无固定期限劳动合同的法律责任。员工应了解自己的权益，及时保存证据并主张权益，以确保自身合法利益不受损害。同时，公司也应积极应对，采取合理措施减轻或避免法律责任。