当行政机关在行政处罚过程中发现违法事实时，其处理方式需严格遵循法律法规，确保公正、合理与合法。以下是对这一问题的详细解答：

一、行政机关自行纠正

1. 主动撤销或变更

   • 适用情形：若行政机关在作出行政处罚决定后，发现该处罚存在事实认定错误、法律适用不当或程序违法等情形，应依法主动撤销或变更原行政处罚决定。例如，若市场监管部门在罚款后发现新证据表明企业并无违法行为，则应主动撤销原罚款决定。
   • 法律依据：根据《行政处罚法》第七十五条，行政机关应建立健全对行政处罚的监督制度，并接受社会监督。若发现错误，应主动改正。

2. 补正程序瑕疵

   • 适用情形：对于程序上的轻微瑕疵，如文书送达时间略有延迟但不影响当事人实体权利等，行政机关可通过补正方式消除违法状态。例如，若行政处罚决定书实际送达时间比规定时间晚一天，但当事人及时行使了相关权利且未造成实质影响，行政机关可通过说明情况进行补正。
   • 法律依据：虽然《行政处罚法》未明确具体补正程序，但根据正当程序和合理行政原则，允许对轻微程序瑕疵进行补正。

二、行政相对人救济途径

1. 申请行政复议

   • 适用情形：若行政相对人认为行政处罚侵犯其合法权益，可在知道或应当知道该行政处罚之日起60日内提出行政复议申请（法律规定的申请期限超过60日的除外）。例如，若企业对环保部门的处罚决定不服，可向上一级环保部门或本级人民政府申请行政复议。
   • 处理结果：复议机关经审理后，若认为行政处罚违法，可作出撤销、变更或确认违法的复议决定。
   • 法律依据：根据《行政复议法》第十一条，公民、法人或其他组织对行政机关的行政处罚决定不服时，可申请行政复议。

2. 提起行政诉讼

   • 适用情形：若行政相对人对行政复议结果不满意，或在法定期限内未申请行政复议，可直接向人民法院提起行政诉讼。一般情况下，应在知道或应当知道作出行政行为之日起六个月内提起诉讼。例如，若个人对交通管理部门的吊销驾驶证处罚决定不服，在行政复议后仍不认可结果，可在规定期限内向法院起诉。
   • 处理结果：人民法院经审理后，若认定行政处罚违法，将根据不同情况作出撤销判决、确认违法判决等。对于造成损害的，还可能判决行政机关承担赔偿责任。
   • 法律依据：根据《行政诉讼法》第十二条，人民法院受理公民、法人或其他组织对行政处罚不服提起的诉讼。

三、司法监督与纠错

1. 检察机关监督

   • 适用情形：若检察机关在履行职责中发现行政处罚存在违法情形，如行政机关工作人员滥用职权、玩忽职守等，可向行政机关提出检察建议，督促其依法纠正。例如，若检察机关在办理公益诉讼案件过程中发现林业部门的行政处罚过轻且存在执法人员收受贿赂的情况，可向林业部门发出检察建议。
   • 处理方式：行政机关应在收到检察建议书之日起2个月内依法履行职责，并书面回复检察院。在紧急情况下，应在15日内书面回复。若行政机关不依法履行职责，检察院可依法向人民法院提起诉讼。
   • 法律依据：根据《人民检察院检察建议工作规定》等相关规定，检察机关对行政违法行为进行监督并提出检察建议。

2. 审判监督程序

   • 适用情形：若已经发生法律效力的行政处罚相关的行政判决、裁定存在认定事实的主要证据不足、适用法律、法规确有错误等情形，当事人可申请再审，人民检察院也可提出抗诉，启动审判监督程序。例如，若法院对一起行政处罚案件的判决生效后，当事人发现了新的证据足以推翻原判决，可向法院申请再审。
   • 处理结果：再审法院经过重新审理后，若认为原行政处罚违法，将依法改判，纠正原错误的判决、裁定。
   • 法律依据：根据《行政诉讼法》第九十条和第九十一条，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定认为确有错误的，可向上一级人民法院申请再审。

四、多个违法事实的处理原则

若当事人存在多个违法事实，行政机关应分别裁量、合并执行，并遵循“一事不再罚”、过罚相当等原则。同时，依据法律适用规则选择适用的法律规范，确保处罚决定既合法又合理。具体处罚方式包括分别处罚合并执行、吸收原则和限制加重原则等。

综上所述，当行政机关在行政处罚过程中发现违法事实时，应依法进行纠正和处理，确保行政处罚的公正性、合理性和合法性。同时，行政相对人也应了解自身的救济途径和司法监督机制，以维护自身合法权益。