结论：厨师上班时被挡鼠板绊倒，责任归属需视具体情况而定，可能属于公司责任，也可能属于厨师自身责任，或者双方都有一定责任。以下从不同角度进行分析：
一、公司可能承担责任的情况
公司未尽到安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条：“宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。”
- 在此案例中，公司作为工作场所的管理者，有义务确保工作场所的安全，包括设置合理的防鼠设施并确保其不会对员工造成安全隐患。如果挡鼠板设置不当（如放置不稳、位置不合理等），导致厨师绊倒，公司可能因未尽到安全保障义务而承担责任。
公司存在过错：
- 如果公司明知挡鼠板存在安全隐患，却未及时采取措施进行修复或更换，导致厨师绊倒，公司可能因存在过错而承担责任。
二、厨师可能承担责任的情况
厨师自身疏忽：
- 如果厨师在行走过程中未注意观察周围环境，或者未按照公司规定的安全操作规程行走，导致自己绊倒，那么厨师自身可能因疏忽而承担一定责任。
厨师违反安全规定：
- 如果公司有明确的安全规定，要求员工在特定区域行走时需注意避让挡鼠板等设施，而厨师违反了这些规定，导致自己绊倒，那么厨师可能因违反安全规定而承担责任。
三、双方可能都有责任的情况
- 在某些情况下，公司可能因未尽到安全保障义务或存在过错而承担部分责任，同时厨师也可能因自身疏忽或违反安全规定而承担部分责任。这种情况下，双方的责任比例可能需要根据具体情况进行划分。
四、法律建议
及时报告并保留证据：
- 厨师在发生绊倒事故后，应及时向公司报告，并尽可能保留相关证据（如现场照片、医疗记录等），以便后续维权。
申请工伤认定：
- 如果厨师认为此次事故属于工伤范畴，可以向公司提出工伤认定申请。根据《工伤保险条例》的相关规定，公司应在事故发生之日起30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果公司未按时申请，厨师或其近亲属、工会组织可以在事故发生之日起1年内直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
寻求法律援助：
- 如果厨师与公司就责任归属问题无法达成一致，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
总结：厨师上班时被挡鼠板绊倒的责任归属需视具体情况而定。在处理此类纠纷时，建议双方保持冷静、理性沟通，并尽可能保留相关证据以便后续维权。如有需要，可以随时向我咨询相关法律问题。