结论：看护留置人员加班是否享有三倍工资，需根据具体情况判断，主要取决于加班的性质（是否为法定节假日加班）以及用人单位与劳动者之间的约定或规章制度。
分析说明：
法定节假日加班：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第四十四条的规定，法定休假日安排劳动者工作的，支付不低于工资的百分之三百的工资报酬。因此，如果看护留置人员的加班发生在法定节假日，且用人单位未安排补休，那么劳动者有权要求用人单位支付三倍工资。
非法定节假日加班：
- 对于非法定节假日的加班，劳动法并未直接规定必须支付三倍工资。此时，加班工资的支付标准通常依据用人单位与劳动者之间的约定，或者用人单位的规章制度来确定。如果双方没有约定，或者规章制度中没有相关规定，那么用人单位可能只需按照正常工资标准支付加班工资，或者根据地方性法规、规章的要求支付相应的加班费。
特殊情况：
- 如果看护留置人员的工作性质特殊，如属于不定时工作制或综合计算工时工作制，那么加班工资的支付可能受到不同规定的约束。在这种情况下，需要具体分析工作制的特点以及加班的具体情况来确定加班工资的支付标准。
法律建议：
- 查看劳动合同和规章制度：首先，劳动者应查看自己的劳动合同以及用人单位的规章制度，了解其中关于加班工资支付的具体规定。
- 与用人单位协商：如果劳动者认为自己的加班工资支付不符合法律规定或合同约定，可以与用人单位进行协商，要求用人单位按照法律规定或合同约定支付加班工资。
- 申请劳动仲裁或提起诉讼：如果协商无果，劳动者可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，或者向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
后续行动：
- 如果您作为看护留置人员遇到了加班工资支付的问题，建议您先收集相关证据，如加班记录、工资单等，以便在协商或仲裁、诉讼过程中证明自己的主张。
- 有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。