结论：驾驶员（在此情境下通常指贷款机构或其委托的第三方）在抵押车贷款逾期后把车开走是否违法，主要取决于贷款合同中的约定以及拖车行为的程序合规性。以下是对此问题的详细分析：
合同约定与程序合规的情况
- 合法性分析：如果贷款合同中明确规定了逾期还款时贷款机构有权拖车，并且贷款机构是按照约定的程序和方式进行拖车（如提前通知、在合理时间和地点拖走），这种行为一般是合法的。因为根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，抵押权人在债务人不履行到期债务时，有权依法处置抵押物。
- 法律依据：《中华人民共和国民法典》第四百一十条规定，债务人不履行到期债务或者发生当事人约定的实现抵押权的情形，抵押权人可以与抵押人协议以抵押财产折价或者以拍卖、变卖该抵押财产所得的价款优先受偿。若抵押权人与抵押人未就抵押权实现方式达成协议，抵押权人可以请求人民法院拍卖、变卖抵押财产。
未经法定程序私自拖车的情况
- 违法性分析：如果贷款机构在没有明确合同约定或未遵循法定程序的情况下私自拖车，这种行为可能侵犯借款人的财产权益，属于违法行为。因为根据法律规定，无权占有他人动产的，权利人可以请求返还原物。
- 法律依据：《中华人民共和国民法典》第二百三十五条规定，无权占有不动产或者动产的，权利人可以请求返还原物。
第三方非法拖车的情况
- 违法性分析：如果第三方在没有合法授权的情况下擅自将车辆开走，这无疑是违法的，可能涉嫌盗窃罪。因为盗窃公私财物是违法行为，将受到法律的制裁。
- 法律依据：《中华人民共和国刑法》第二百六十四条规定，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
综合建议：
- 面对抵押车贷款逾期后车辆被拖走的情况，借款人应首先检查贷款合同中的相关条款，确认是否存在关于逾期还款和拖车行为的明确约定。
- 若合同中有此类约定且拖车行为符合法定程序，借款人应理解并接受这一结果，并尽快与贷款机构协商解决逾期还款问题。
- 若合同无此约定或拖车行为存在违规情况，借款人可依法维护自己的权益，包括要求返还车辆、寻求法律赔偿等。在此过程中，借款人可以保留相关证据，如拖车通知、合同条款等，以便在需要时提供证明。
后续行动建议：
- 如果您作为借款人遇到了此类问题，建议您先与贷款机构进行沟通，了解拖车的具体原因和依据。
- 如果沟通无果或您认为贷款机构的行为存在违法情况，您可以向当地公安机关报案或寻求法律援助，以维护自己的合法权益。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何其他法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。