结论：仲裁裁决后被对方起诉，没被支持的请求申请人一般不能重新要求支持，但在特定情形下，如存在新证据或原仲裁裁决有错误等，可通过合法途径寻求救济。

详细分析：

1. 一般原则：

   • 在劳动仲裁程序中，仲裁庭会根据双方提供的证据和法律规定作出裁决。如果申请人的某些请求未被仲裁庭支持，这通常意味着仲裁庭认为这些请求缺乏事实依据或法律依据。
   • 一旦仲裁裁决作出并送达双方，该裁决即具有法律效力（除非被法院撤销或变更）。在一般情况下，未被支持的请求不能简单地因为对方起诉而重新被要求支持。

2. 特定情形下的救济途径：

   • 新证据的出现：如果在仲裁裁决后，申请人发现了新的证据，这些证据足以改变原仲裁裁决的结果，那么申请人可以考虑在法院诉讼阶段提出这些新证据。但需要注意的是，新证据的提出需要符合法律规定的条件，如证据的时效性、关联性等。
   • 原仲裁裁决的错误：如果申请人认为原仲裁裁决存在错误，如程序违法、事实认定不清或法律适用错误等，可以在法院诉讼阶段提出异议，并请求法院对原仲裁裁决进行审查或撤销。但这一过程需要严格的法律程序和证据支持。
   • 对方起诉的内容：如果对方起诉的内容与申请人未被支持的请求相关，且法院在审理过程中认为有必要对原仲裁裁决的某些部分进行重新审查，那么申请人可能有机会在法院诉讼阶段就这些请求进行再次陈述和辩论。但这并不意味着申请人可以简单地重新要求支持这些请求，而是需要基于法院的审理和判断。

3. 法律建议：

   • 仔细分析对方起诉状：申请人应仔细分析对方起诉状的内容，了解对方起诉的理由和请求，以便有针对性地准备应诉材料。
   • 咨询专业律师：虽然我在这里为你提供了一些基本的法律分析，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，我建议你咨询专业律师，以便更准确地了解你的权利和义务，以及可能的法律后果。
   • 准备应诉材料：根据对方起诉状的内容和律师的建议，申请人应准备充分的应诉材料，包括证据、法律依据等，以支持自己的主张。

后续行动建议：

• 如果你认为存在上述特定情形，如新证据的出现或原仲裁裁决的错误，应及时收集相关证据和材料，并咨询专业律师以制定合适的应诉策略。
• 在法院诉讼阶段，要积极参与庭审活动，充分陈述自己的主张和理由，并尊重法院的判决结果。如果对判决结果有异议，可以在法定期限内提起上诉或申请再审。

示例说明： 假设在劳动仲裁程序中，你要求公司支付加班费，但仲裁庭认为你提供的证据不足以证明加班事实的存在，因此未支持你的这一请求。后来，你发现了新的证据（如加班记录、同事证言等），这些证据足以证明你确实存在加班事实。在这种情况下，你可以在法院诉讼阶段提出这些新证据，并请求法院对原仲裁裁决进行审查或变更。但需要注意的是，新证据的提出需要符合法律规定的条件，并经过法院的审查和认定。