结论：未予支持仲裁请求的情况下，是否可以另行申请仲裁，需根据具体情况来判断，一般来说，若存在新的事实、证据或仲裁请求未涵盖全部争议事项，可以另行申请仲裁；若仲裁请求已涵盖全部争议事项且无新情况，则通常不可以。

详细分析：

1. 存在新的事实或证据：

   • 如果在首次仲裁后，当事人发现了新的事实或证据，这些新的事实或证据可能对案件的裁决产生重大影响，那么当事人可以基于这些新的事实或证据，向仲裁机构提出另行申请仲裁的请求。这是因为仲裁裁决的作出是基于当时已知的事实和证据，新的事实或证据的出现可能改变了案件的基本面貌，使得原裁决不再公正或合理。

2. 仲裁请求未涵盖全部争议事项：

   • 如果在首次仲裁时，当事人提出的仲裁请求并未涵盖全部争议事项，或者由于某种原因（如遗漏、误解等）未将某些争议事项纳入仲裁范围，那么在仲裁裁决作出后，当事人可以就未涵盖的争议事项另行申请仲裁。这是因为仲裁请求的范围决定了仲裁裁决的效力范围，未涵盖的争议事项不受原裁决的约束。

3. 仲裁请求已涵盖全部争议事项且无新情况：

   • 如果在首次仲裁时，当事人提出的仲裁请求已经涵盖了全部争议事项，且仲裁裁决作出后没有出现新的事实或证据，那么当事人通常不可以就同一争议事项另行申请仲裁。这是因为仲裁裁决具有终局性，一旦作出，即对当事人产生法律约束力，当事人应当履行裁决所确定的义务。如果允许当事人就同一争议事项反复申请仲裁，将破坏仲裁的效率和权威性。

法律建议：

• 在考虑是否另行申请仲裁时，当事人应当仔细评估新的事实或证据的重要性，以及它们是否可能对案件的裁决产生重大影响。
• 如果当事人认为存在新的事实或证据，或者仲裁请求未涵盖全部争议事项，应当及时向仲裁机构提出另行申请仲裁的请求，并附上相关证据和理由。
• 如果当事人对仲裁裁决有异议，但不符合另行申请仲裁的条件，可以考虑通过其他法律途径（如诉讼）来维护自己的权益。不过，这需要根据具体情况和法律规定来判断，并咨询专业律师的意见。

可能后果：

• 如果另行申请仲裁的请求被仲裁机构受理，并最终作出了新的裁决，那么当事人应当履行新裁决所确定的义务。
• 如果另行申请仲裁的请求被仲裁机构驳回，或者新裁决并未改变原裁决的结果，那么当事人可能需要承担因反复申请仲裁而产生的额外费用和时间成本。

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