结论：直系亲属证明通常可以开具外公与母亲的关系证明，但具体能否开具以及开具的内容和形式，可能因地区和具体机构的要求而有所不同。
分析说明：
直系亲属关系的定义：
- 直系亲属通常指的是具有直接血缘或婚姻关系的人，如父母、子女、配偶等。在您的情况下，外公与母亲之间是直系血亲关系，因此理论上是可以开具直系亲属证明的。
开具直系亲属证明的机构：
- 一般来说，直系亲属证明可以由当地的公安机关（如派出所）或者户籍管理部门开具。这些机构通常负责管理户籍档案，能够核实并出具相关的亲属关系证明。
- 在某些情况下，如果外公或母亲的工作单位或者人事档案部门保存有相关的亲属关系记录，也可以尝试向这些机构申请开具证明。
开具证明的具体要求和流程：
- 不同地区和机构对于开具直系亲属证明的具体要求和流程可能有所不同。一般来说，您需要提供有效的身份证明（如身份证、户口本等）以及能够证明外公与母亲之间亲属关系的材料（如出生证明、户籍档案等）。
- 您可能需要填写一份申请表格，说明开具证明的目的和用途，并缴纳一定的费用（如果有的话）。
特殊情况下的考虑：
- 如果外公已经去世，且户籍档案等材料可能已经注销或转移，开具证明的难度可能会增加。在这种情况下，您可能需要提供更多的辅助材料，如外公的死亡证明、母亲的出生证明等，以证明他们之间的亲属关系。
- 如果母亲或外公的户籍曾经发生过迁移或变动，也可能需要提供相关的迁移证明或户籍变动记录。
行动建议：
- 咨询当地机构：由于不同地区和机构对于开具直系亲属证明的要求和流程可能有所不同，建议您首先咨询当地的公安机关或户籍管理部门，了解具体的开具要求和流程。
- 准备相关材料：根据当地机构的要求，准备好有效的身份证明和能够证明外公与母亲之间亲属关系的材料。
- 填写申请表格并缴纳费用：按照当地机构的要求填写申请表格，并缴纳相应的费用（如果有的话）。
- 等待审核并领取证明：提交申请后，等待当地机构的审核。审核通过后，您可以领取直系亲属证明。
后续思考：
- 如果在开具证明的过程中遇到任何困难或问题，如材料不全、流程不清等，您可以及时向当地机构咨询或寻求帮助。
- 如果您需要开具的直系亲属证明是用于特定的法律事务（如遗产继承、抚养权纠纷等），建议您在开具证明前咨询专业的律师，以确保证明的有效性和适用性。
希望以上分析能够对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。