公司半年前丢失产品且没有监控的情况下，可按以下步骤处理：

1. 立即启动内部调查程序
   尽管丢失事件已过去半年，仍需第一时间成立专项调查组，重点核查以下内容：

   • 书面记录审查：调取丢失产品相关的出入库单、物流单据、交接记录等书面凭证，确认产品最后经手人及流转环节；
     
   • 人员访谈：对可能接触产品的员工（包括离职人员）进行询问，制作书面询问笔录，注意避免诱导性提问；
     
   • 现场复勘：即使无监控，仍需对丢失现场进行物理勘察（如门窗锁具状态、包装痕迹等），排除外部盗窃可能性。
     

2. 评估法律责任主体
   根据调查结果分情况处理：

   • 若为内部员工责任：
     
     • 依据《劳动合同法》第39条，若员工存在重大过失或故意行为（如私自携带产品外出），可解除劳动合同并追偿损失；
       
     • 需注意：追偿金额不得超过员工月工资的20%（依据《工资支付暂行规定》第16条），且需保留员工过错证据（如书面承认材料）。
       
   • 若为第三方责任（如物流方、访客等）：
     
     • 依据《民法典》第832条，若物流方未尽到妥善保管义务，可要求其承担赔偿责任；
       
     • 需在知道或应当知道权利受损之日起3年内起诉（诉讼时效规定）。
       

3. 完善证据链的补救措施

   • 补充书面证据：要求相关人员补签《情况说明》，明确产品丢失的时间、地点、经过；
     
   • 第三方协助：联系物业或辖区派出所，调取周边公共区域监控（如电梯、大门），或请求出具《出警记录》佐证盗窃可能性；
     
   • 公证保全：对现场残留痕迹（如破损包装）进行公证，固定证据。
     

4. 预防性制度优化

   • 修订《财物管理制度》：明确产品流转需双人签字、定期盘点等强制条款；
     
   • 安装监控设备：在关键区域补装摄像头，并留存安装记录作为未来举证依据；
     
   • 购买财产保险：通过商业保险转移类似风险，降低直接损失。
     

特别提醒：若丢失产品价值较高（如超过5000元），建议同步向公安机关报案，即使未立刑事案件，警方调查记录也可作为民事索赔的辅助证据。如有进一步细节需要分析，可直接向我咨询。