结论前置：打架打掉他人三颗牙，是否构成刑事案件主要取决于伤情鉴定结果。若构成轻伤二级及以上，则可能构成刑事案件，面临刑事处罚；若不构成轻伤，则一般属于治安案件，但也可能面临行政处罚。同时，无论是否构成刑事案件，施暴者均需承担民事赔偿责任。
一、伤情鉴定与刑事案件判定
伤情鉴定标准：
- 根据《人体损伤程度鉴定标准》，牙齿脱落或者牙折2枚以上（若为门牙）或4枚以上（若为槽牙或智齿）可能构成轻伤二级；牙齿脱落或者牙折共7枚以上则构成重伤二级。在打架事件中，若造成他人三颗牙齿脱落或折断，通常会被认定为轻伤二级。
刑事案件判定：
- 若伤情鉴定结果为轻伤二级及以上，施暴者的行为就可能构成故意伤害罪，面临刑事处罚。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑。
二、治安案件与行政处罚
治安案件判定：
- 若伤情鉴定结果未达到轻伤标准，即不构成轻伤二级，则施暴者的行为一般属于治安案件。
行政处罚：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。若存在结伙殴打、伤害特殊人群（如残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人）或多次殴打、伤害他人等情形，处罚将更加严厉。
三、民事赔偿责任
赔偿范围：
- 无论是否构成刑事案件或治安案件，施暴者均需对伤者承担民事赔偿责任。赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。若伤者因伤致残，还需赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费，以及因康复护理、继续治疗实际发生的必要费用。
赔偿途径：
- 双方可协商达成赔偿协议；协商不成时，受害人可向法院提起民事诉讼，由法院依法判决。
四、建议与总结
- 建议：在发生打架事件时，应立即报警并寻求医疗救助。同时，保留好相关证据（如现场照片、视频、证人证言等），以便后续维权。
- 总结：打架打掉他人三颗牙的法律后果需根据伤情鉴定结果、案件性质及民事赔偿责任等多方面因素综合判断。作为施暴者，应认识到自己的行为可能带来的严重法律后果，并承担相应的责任；作为受害者，应积极维权，寻求法律保护。
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