结论：在孩子判给父亲但父亲不养，由母亲实际抚养了9年的情况下，母亲是有权起诉要求父亲支付这9年的抚养费的。

法律背景与依据：

1. 抚养义务：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。这一义务是法定的，不因父母离婚或子女抚养权的归属而免除。因此，即使孩子被判给父亲，父亲仍然有抚养孩子的法定义务。

2. 抚养费支付：当父亲不履行抚养义务时，母亲作为实际抚养人，有权要求父亲支付抚养费。这包括孩子的生活费、教育费、医疗费等必要费用。抚养费的支付标准通常根据子女的实际需要、父母的负担能力和当地的实际生活水平来确定。

3. 诉讼时效：关于诉讼时效的问题，虽然一般的民事纠纷有诉讼时效的限制，但在抚养费纠纷中，由于抚养义务是持续性的，且涉及子女的切身利益，因此通常认为不受诉讼时效的限制。这意味着，即使母亲在孩子被判给父亲多年后才提起诉讼，法院仍然可能支持其要求支付抚养费的请求。

法律建议：

1. 收集证据：母亲在提起诉讼前，应尽可能收集相关证据，如孩子的实际支出凭证、父亲未履行抚养义务的证据等。这些证据将有助于法院在判决时确定抚养费的支付标准和金额。

2. 提起诉讼：母亲可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求父亲支付抚养费。在诉讼过程中，母亲应详细陈述事实，提供充分的证据支持自己的主张。

3. 考虑调解：在诉讼过程中，法院可能会组织双方进行调解。如果双方能够达成调解协议，那么可以更快地解决纠纷，并减少诉讼成本。

可能的法律后果：

1. 法院判决：如果法院认定父亲确实未履行抚养义务，那么法院可能会判决父亲支付母亲已经垫付的抚养费，并可能要求父亲在未来继续支付抚养费。

2. 执行问题：如果父亲不履行法院判决，母亲可以向法院申请强制执行。法院有权采取多种措施来强制父亲履行判决，如查封、扣押、拍卖财产等。

特殊情况考虑：

• 如果母亲在抚养孩子的过程中，有明确的证据表明父亲曾经表示愿意支付抚养费但未实际支付，或者双方曾经就抚养费的支付达成过协议但父亲未履行，这些情况都可以作为母亲起诉的有力证据。

• 如果孩子已经成年，但母亲仍然希望追讨过去的抚养费，这可能会涉及到一些复杂的法律问题。不过，在大多数情况下，只要母亲能够提供充分的证据证明父亲未履行抚养义务，法院仍然可能支持其请求。

总之，母亲在孩子判给父亲但父亲不养的情况下，有权起诉要求父亲支付抚养费。在提起诉讼前，母亲应尽可能收集相关证据，并考虑咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。