结论：开车压死小鸡后逃跑是否构成逃逸，需根据具体情况判断。一般情况下，若驾驶人不知晓或虽知晓但未逃避法律责任，则不构成逃逸；但若驾驶人明知且故意逃离以逃避责任，特别是当小鸡具有较高经济价值或引发其他事故时，则可能构成逃逸。

详细分析：

1. 交通肇事逃逸的法律定义：

   • 交通肇事逃逸是指在发生交通事故后，当事人为了逃避法律追究而逃离现场的行为。这一行为通常要求行为人明知已发生事故，并出于逃避法律责任的目的而故意逃离。

2. 压死小鸡的性质与后果：

   • 压死小鸡通常被视为轻微事故，因其造成的财产损失相对较小，且不涉及人员伤亡。然而，这并不意味着此类事故可以忽视或逃避责任。
   • 如果小鸡属于名贵品种或具有较高经济价值，那么压死小鸡可能构成对他人财产的重大损失，此时驾驶人的行为可能受到更严格的法律审视。

3. 构成逃逸的关键因素：

   • 主观意图：驾驶人是否明知发生了事故（如压死了小鸡）并故意逃离现场是判断的关键。如果驾驶人确实没有注意到或虽然注意到了但认为没有造成严重后果而离开，并且能够证明其并非为了逃避责任，那么这种情况可能不被视为逃逸。
   • 客观行为：驾驶人是否有停车查看、报警、与受损方协商等积极处理事故的行为也是重要考量因素。如果驾驶人直接逃离现场，没有采取任何补救措施，那么其行为更可能被认定为逃逸。

4. 特殊情况下的逃逸认定：

   • 如果压死小鸡的同时还造成了其他严重后果，如车辆失控与其他车辆或行人发生碰撞，导致人员伤亡或重大财产损失，并且驾驶人出于逃避法律追究的目的而离开现场，那么这种情况下就可能构成交通肇事逃逸。

5. 法律责任与后果：

   • 若被认定为交通肇事逃逸，驾驶人需承担相应的民事责任，主要是对受损方（小鸡的主人）进行经济赔偿。此外，还可能面临行政处罚，如罚款、扣分等。在严重情况下，甚至可能构成犯罪，面临刑事处罚。

建议与指导：

• 谨慎驾驶：无论在任何路况下，都应保持高度警惕，遵守交通规则，确保行车安全。避免因为疏忽大意而造成不必要的交通事故。
• 积极应对：一旦发生交通事故（无论是与人、车还是动物），应立即停车查看情况，并根据实际需要采取报警、救助等措施。不要因为事故轻微或认为没有造成严重后果而选择逃离现场。
• 诚信协商：若造成他人财产损失，应主动与受损方进行沟通，协商合理的赔偿方案。通过诚信协商可以避免不必要的法律纠纷和道德谴责。

综上所述，开车压死小鸡后逃跑是否构成逃逸需根据具体情况而定。在任何情况下，驾驶人都应保持冷静并采取合理的应对措施，以确保自身和他人的合法权益得到妥善保护。如果你有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。