结论：开车压死鸡是否构成肇事逃逸，需根据具体情况判断。一般情况下，若驾驶人不知晓或虽知晓但未逃避法律责任，则不构成逃逸；但若驾驶人明知且故意逃离以逃避责任，特别是当鸡具有较高经济价值或引发其他事故时，则可能构成逃逸。
详细分析：
交通肇事逃逸的定义：
- 交通肇事逃逸是指在发生交通事故后，当事人为了逃避法律追究而逃离现场的行为。根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，造成交通事故后逃逸，尚不构成犯罪的，将面临罚款及可能的拘留处罚。
撞鸡后是否构成逃逸的判断标准：
- 是否明知事故发生：驾驶人只有在明知发生了交通事故（如撞到了鸡）的情况下逃离现场，才可能构成逃逸。如果驾驶人因未注意到或确实不知晓而离开，通常不被认定为逃逸。
- 是否逃避法律责任：驾驶人逃离现场的主观动机是为了逃避法律责任。若驾驶人因害怕受害方反应、抢救伤者等其他合理原因离开，并及时报警或采取补救措施，则不应视为逃逸。
- 财产损失的性质与价值：通常，一只普通鸡不属于重大财产范畴，因此仅撞鸡后离开一般不构成逃逸。但如果这只鸡属于名贵品种、具有较高经济价值，且驾驶人明知并故意逃离，则可能因逃避赔偿责任而被认定为逃逸。
- 是否引发其他事故：如果撞鸡导致车辆失控或引发其他交通事故后逃离，无论鸡的价值如何，都将被认定为逃逸。
撞鸡后的正确处理方式：
- 立即停车：发生交通事故后，驾驶人应第一时间停车，保护现场。
- 查看情况：下车检查鸡的状况，如受伤或死亡，应尽快联系鸡的主人或相关管理部门。
- 协商或报警处理：与鸡的主人协商赔偿事宜；若无法达成一致或找不到主人，应及时报警并由交警处理。
- 配合调查：若交警到场，驾驶人应如实陈述事故经过，积极配合调查工作。
法律后果与建议：
- 如果驾驶人的行为被认定为交通肇事逃逸，将面临罚款、拘留等行政处罚，并可能需要承担民事赔偿责任。
- 在遇到此类情况时，驾驶人应保持冷静，按照上述建议妥善处理。如果确实不知晓撞到了鸡，且事后发现，也应主动与相关部门或鸡的主人联系，说明情况并协商赔偿事宜。
总结：开车压死鸡是否构成肇事逃逸，关键在于驾驶人是否明知事故发生、是否有逃避法律责任的意图以及事故的具体情况。正确的处理方式对于避免不必要的法律纠纷至关重要。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。