结论前置：当您在医疗期遇到劳动合同快到期的情况时，根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同应自动续延至医疗期满或相应情形消失。此后，根据您的健康状况和用人单位的需求，双方可决定是解除还是续签劳动合同。以下是详细分析：
一、合同期限的顺延
根据《劳动合同法》第四十五条的规定，劳动合同期满时，如果您正处于规定的医疗期内，劳动合同应当续延至医疗期满或者您被确认丧失或部分丧失劳动能力时为止。这一规定确保了您在医疗期间的权益不受损害，用人单位不得因合同到期而擅自终止劳动关系。
二、医疗期结束后的处理
单位终止合同的情形：
- 医疗期满后，若您不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位需提前三十日以书面形式通知您本人或者额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同。此时，用人单位应按照《劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿。经济补偿的计算公式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（其中，工作年限每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资；月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，支付经济补偿的年限最高不超过十二年）。同时，依照国家有关规定，用人单位还需给予医疗补助费。
双方续签合同的情形：
- 若医疗期满后，您恢复良好并能继续胜任工作，且用人单位愿意继续留用，双方可协商续签劳动合同，重新约定合同期限、工作内容、劳动报酬等条款。
特殊保护：
- 对于患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的您，即使劳动合同期满，用人单位也不得随意解除劳动合同。这些劳动者的劳动合同应续延至达到退休年龄或其他依法可以享受养老保险待遇的情形出现时为止。
三、劳动者权益保护
- 如果用人单位在医疗期内违法解除劳动合同，您有权要求用人单位继续履行劳动合同。若您不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位需按照《劳动合同法》第八十七条的规定支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的二倍。
四、争议解决途径
- 如果您与用人单位就医疗期内合同到期的处理问题产生争议，双方可通过协商、调解、仲裁、诉讼等途径寻求解决方案。在争议解决过程中，建议您保留好相关医疗证明、劳动合同等证据，以便维护自己的合法权益。
五、实际操作建议
- 及时沟通：在医疗期内，建议您与用人单位保持密切沟通，及时告知自己的健康状况和医疗进展，以便用人单位合理安排工作。
- 了解政策：密切关注劳动法律法规的最新动态，确保自己的权益得到充分保障。
- 寻求帮助：如果在处理过程中遇到困难或疑问，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。
综上所述，处理医疗期间合同到期的问题需严格遵循《劳动合同法》的相关规定，确保您的合法权益得到妥善保护。在具体操作中，应根据您的健康状况和用人单位的实际情况，灵活应用法律规定，实现法律效果与社会效果的统一。