私生子女（非婚生子女）有权就婚生子女不履行赡养义务的行为提起诉讼，但需满足法定条件。以下从法律关系、诉讼主体、举证责任等角度展开分析：

1. 法律关系：非婚生子女与婚生子女同为法定赡养义务人

根据《民法典》第1075条，有负担能力的孙子女、外孙子女，对于子女已经死亡或者子女无力赡养的祖父母、外祖父母，有赡养的义务。但更直接相关的是《民法典》第1067条第2款：成年子女不履行赡养义务的，缺乏劳动能力或者生活困难的父母，有要求成年子女给付赡养费的权利。
关键点：

• 赡养义务的主体是“成年子女”，法律未区分婚生与非婚生，二者地位平等。
  
• 若父亲生病且缺乏劳动能力或生活困难，婚生子女与非婚生子女均负有赡养义务。
  
• 若婚生子女未履行义务，父亲可直接起诉；若父亲已丧失民事行为能力（如昏迷），非婚生子女可作为法定代理人代为起诉，或以“维护被监护人权益”为由直接起诉婚生子女。

2. 诉讼主体：谁可以起诉？

• 直接起诉主体：父亲本人（若具备民事行为能力）。
  
• 间接起诉主体：
  
  • 若父亲因病无法自行起诉，非婚生子女可作为法定代理人（需证明亲属关系，如出生证明、亲子鉴定等）代为起诉。
    
  • 若父亲无其他法定代理人（如配偶已去世、其他子女均不履行义务），非婚生子女可申请成为监护人后起诉，或直接以“利害关系人”身份起诉（需法院认定）。
    
• 被告：未履行赡养义务的婚生子女。

3. 举证责任：非婚生子女需证明什么？

• 亲属关系：需提供证据证明与父亲的亲子关系（如出生证明、父亲书面认领、亲子鉴定报告等）。
  
• 婚生子女未履行义务：需证明婚生子女有能力赡养但未履行（如收入证明、父亲医疗费用支出记录、婚生子女拒绝支付费用的沟通记录等）。
  
• 父亲的需求：需证明父亲缺乏劳动能力或生活困难（如医疗诊断书、收入证明、财产状况证明等）。

4. 特殊情形：父亲未尽抚养义务，非婚生子女能否免责？

• 法律原则：赡养义务与抚养义务是独立的法律关系，父母未尽抚养义务不必然免除子女的赡养义务（《民法典》第1067条未设置例外条款）。
  
• 例外情形：若父亲对非婚生子女存在严重虐待、遗弃等行为，非婚生子女可主张减免赡养费，但需通过法院裁判认定（实践中认定标准严格）。
  
• 对本案的影响：非婚生子女仍可起诉婚生子女，但其自身赡养义务的履行可能成为婚生子女抗辩的理由（如要求“分担义务”），但不影响婚生子女对父亲的基本赡养责任。

5. 法律后果：婚生子女可能承担的责任

• 经济赔偿：法院可能判决婚生子女支付拖欠的赡养费、医疗费等。
  
• 强制执行：若婚生子女拒不履行，法院可采取查封财产、限制高消费等措施。
  
• 刑事责任：极端情况下，若婚生子女对父亲遗弃情节恶劣，可能构成《刑法》第261条遗弃罪（需达到“情节恶劣”标准，如长期不探望、不提供基本生活条件等）。

行动建议

1. 收集证据：优先固定父亲与婚生子女的亲属关系、婚生子女未履行义务的证据。
   
2. 协商调解：可先通过居委会、村委会或第三方调解机构沟通，降低诉讼成本。
   
3. 提起诉讼：若协商无果，非婚生子女可作为法定代理人或利害关系人，以父亲名义或自身名义起诉婚生子女。
   
4. 申请法律援助：若经济困难，可向当地司法局申请法律援助，指派律师协助。

总结：非婚生子女有权就婚生子女不赡养父亲的行为提起诉讼，但需以父亲的名义或通过法定程序主张权利，并承担相应举证责任。若涉及复杂证据或程序问题，建议直接向我咨询具体方案。