当遇到员工未签合同且私自离职的情况时，无论是用人单位还是员工，都需要采取一系列措施来确保各自的权益得到妥善处理。以下是我为您提供的详细解答：
对于用人单位
确认劳动关系与风险：
- 尽管未签订劳动合同，但根据《劳动合同法》，只要存在实际用工行为，双方即建立劳动关系。
- 用人单位需警惕支付双倍工资的风险，若自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同，可能需每月支付二倍工资。
- 处理不当还可能导致员工主张非法解除劳动关系，进而要求经济赔偿金。
采取应对措施：
- 确认离职事实：通过邮件、即时通讯工具等内部沟通渠道，向员工确认离职意愿和实际情况，并保留沟通记录。
- 完善离职手续：即使员工自动离职，也应按公司规定办理离职手续，包括工作交接、财物归还、考勤核算、工资结算等，并制作《离职手续办理清单》。
- 工资与福利结算：及时结算员工工资，包括未休年假、调休等，并通过银行转账等方式支付，同时保留支付凭证。
- 出具离职证明：在解除或终止劳动合同时，出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为员工办理档案和社会保险关系转移手续。
- 防范法律风险：收集并保存好员工的入职登记表、考勤记录、工作成果记录、工资发放记录及沟通记录等证据，以应对可能的劳动纠纷。必要时可咨询专业律师。
完善预防机制：
- 强化合同管理，确保劳动合同条款清晰完整，明确双方权利义务及违约责任。
- 优化离职流程，建立规范的离职审批程序，要求员工提交书面申请并完成工作交接。
- 加强法律意识培训，定期组织员工学习劳动法律法规，明确擅自离职的法律风险。
对于员工
了解自身风险：
- 自动离职可能导致用人单位拖延或克扣工资，尽管法律规定不得无故拖欠或克扣。
- 未及时办理社保和公积金减员或转移手续可能影响后续权益。
采取应对措施：
- 书面通知用人单位：以邮件或书面辞职信形式正式通知离职决定，说明原因，并明确离职日期。保留好通知发送记录。
- 协商工资结算：积极与用人单位沟通工资结算问题，要求及时、足额支付。协商不成可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
- 办理社保和公积金转移：主动联系用人单位人力资源部门，了解社保和公积金减员及转移手续，按要求提供相关材料，确保顺利转移。
共同注意事项
- 协商解决优先：双方应首先尝试通过协商解决争议，这有助于减少法律纠纷和成本。
- 法律途径解决争议：若协商不成，双方均可通过法律途径维护自身权益，包括但不限于申请劳动仲裁或提起诉讼。
综上所述，当遇到员工未签合同且私自离职的情况时，用人单位和员工都应积极采取措施，确保各自权益得到保障。通过明确法律后果与责任、采取应对措施以及完善预防机制，可以有效降低此类事件带来的风险。