针对员工做了两个月没签合同自动离职的情况，以下是一些具体的处理建议和流程：

一、明确法律责任与后果

1. 未签劳动合同的法律后果：

   • 根据《劳动合同法》第十条，用人单位应在用工之日起一个月内与员工签订书面合同。若超过一个月未签，从第二个月起需支付双倍工资差额。
   • 若满一年未签合同，则视为无固定期限合同，但员工仍可主张前11个月的双倍工资差额。

2. 自动离职的性质与影响：

   • “自动离职”并非法律术语，员工未提前30日（试用期提前3天）通知即离职，可能构成违法解除。
   • 若单位无过错，员工擅自离职，单位可依据规章制度处理，如扣减工资或不予出具离职证明，但不影响员工主张未签合同的双倍工资差额。

二、处理流程与建议

1. 收集证据材料：

   • 劳动关系证明：工牌、考勤记录、工作群聊天记录、同事证言等。
   • 工资流水：银行转账记录或现金签收单。
   • 与员工的沟通记录：关于合同签订、离职原因等的协商过程记录。

2. 与员工协商：

   • 尝试与员工取得联系，了解其离职原因及诉求。
   • 若员工提出补发工资及签订合同的要求，单位应积极响应并协商解决方案。

3. 依规处理离职情况：

   • 若员工擅自离职且构成旷工，单位可依据规章制度认定为严重违反制度，有权解除劳动关系且无需支付经济补偿。
   • 妥善保留员工离职相关证据，如考勤记录、通知记录等，以应对可能的劳动争议。

4. 支付双倍工资差额：

   • 对于未签合同期间（第二个月起）的工资，单位需按双倍支付差额部分。

5. 后续改进与管理：

   • 反思单位在劳动合同签订流程中的不足，及时完善并优化相关流程。
   • 加强对新员工的入职培训，明确劳动合同签订的重要性及后果。

三、注意事项与风险提示

1. 时效限制：员工主张双倍工资差额的仲裁时效为离职后一年内，单位应在此期限内妥善处理相关事宜。
2. 避免过激行为：在处理过程中，单位应保持冷静与理性，避免采取过激行为（如扣发全部工资、拒绝出具离职证明等），以免引发更大的劳动争议。
3. 合规管理：单位应建立健全劳动合同管理制度，确保所有员工均签订书面劳动合同，以降低法律风险。

综上所述，面对员工未签合同自动离职的情况，单位应明确法律责任与后果，按照法定流程处理，并积极与员工协商解决问题。同时，单位也应加强内部管理与合规建设，确保劳动合同签订的及时性与有效性。