法院执行第三人到期债权确实是依申请人申请启动的。以下是对此问题的详细解析：
一、法律依据与启动条件
法律依据：
- 根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第四百九十九条及第五百零一条，以及《最高人民法院关于人民法院执行工作若干问题的规定（试行）》第四十五条至第五十三条，法院可对第三人到期债权采取执行措施，但需依申请执行人或被执行人的申请启动执行程序。
启动条件：
- 被执行人现有财产不足以清偿全部债务。
- 被执行人对第三人享有的债权清偿期已届满。
- 被执行人对第三人享有合法的可供执行的债权。
- 依申请执行人或被执行人的申请启动执行程序。
二、执行流程
申请与受理：
- 申请执行人或被执行人向人民法院提出申请，请求执行被执行人对第三人的到期债权。申请时需提供债权存在的确凿证据，如合同、判决书等。
法院审查：
- 人民法院对申请进行审查，确认被执行人是否确实不能清偿债务，以及是否存在对第三人的到期债权。
发出履行通知：
- 经审查确认后，人民法院向第三人发出履行到期债务的通知，要求其在指定期限内履行债务，并告知异议权利。
第三人异议处理：
- 第三人在收到履行通知后，有权在指定期限内提出异议。若提出异议，法院不对异议进行实体审查，且不得对第三人强制执行。申请执行人请求对异议部分强制执行的，法院不予支持。
强制执行：
- 若第三人在指定期限内未提出异议且不履行债务，法院有权裁定对其强制执行。此裁定应同时送达第三人和被执行人。
三、特殊情形与注意事项
特殊情形处理：
- 对于生效法律文书确定的到期债权，第三人予以否认的，法院不予支持。
- 若第三人擅自向被执行人履行到期债权，造成已履行的财产不能追回的，除承担连带清偿责任外，还可能承担妨害执行的责任。
注意事项：
- 法院应直接送达履行通知给第三人，确保第三人知悉其内容。公告送达等方式因无法保障第三人一定知悉，故不被视为有效送达。
- 第三人的异议期限通常为15日，且应以书面形式提出。口头提出的，执行人员应记入笔录，并由第三人签字或盖章。
- 法院向第三人发出履行债务的通知并非冻结债权的必要条件。在执行过程中，法院可以根据实际情况作出冻结债权的裁定，以更好地保障申请执行人的合法权益。
四、结论与建议
综上所述，法院执行第三人到期债权确实是依申请人申请启动的，且需满足一定的条件和遵循严格的执行流程。在实践中，申请执行人应充分了解相关法律规定和执行流程，确保申请材料的完备性和合法性，以便更好地维护自己的合法权益。同时，第三人也应积极配合法院的执行工作，如有异议应及时提出并说明理由。
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