针对您提出的“申请执行第三方债权人是否需要申请执行人同意”的问题，我们可以从法律的角度进行详细解答。

首先，要明确的是，在某些特定情形下，第三方债权人确实具备申请执行的权利。这通常发生在被执行人（即债务人）无法清偿其债务，但同时对第三人享有已经到期的债权时。在这种情况下，第三方债权人（即原债务人的债权人）可以向法院提出申请，要求执行这笔到期的债权。

接下来，我们详细梳理一下申请执行的流程和条件：

1. 申请条件：

   • 被执行人无法清偿债务。
   • 被执行人对第三人享有已经到期的债权。
   • 第三方债权人（即申请执行人）需要向法院递交申请，要求执行这笔到期债权。

2. 法院处理流程：

   • 法院在收到申请后，会向第三人（即被执行人的债务人）发出履行通知。
   • 第三人需要在规定的期间内提出异议或者履行相应的债务。
   • 如果第三人在指定的期间内既没有提出异议，也没有履行债务，那么法院就可以裁定对第三人的财产采取执行的措施。

3. 关于申请执行是否需要原申请执行人（即您提到的“申请执行人”）的同意：

   • 实际上，第三方债权人申请执行的是被执行人对第三人的到期债权，这一过程并不直接涉及原申请执行人的同意。原申请执行人（即最初的债权人）的权益已经通过法律程序得到了确认，而第三方债权人申请执行的是另一笔独立的债权关系。
   • 当然，如果原申请执行人也是第三方债权人（即同时是多个债务关系的债权人），那么他/她自然有权申请执行自己享有的债权，但这并不构成对其他债权人申请执行的限制或条件。

4. 注意事项：

   • 申请执行必须符合法律所规定的条件和程序。如果申请不符合法律要求，那么申请很有可能不会被受理，甚至还有可能被驳回。
   • 如果第三人提出了异议，并且这个异议是成立的，那么法院就不能对其财产进行执行。

综上所述，申请执行第三方债权人的到期债权并不需要原申请执行人的同意。这一过程主要依据的是被执行人与第三人之间的债权债务关系，以及第三方债权人作为债权人的合法权益。在申请执行时，第三方债权人需要确保自己的申请符合法律规定的条件和程序，以维护自己的合法权益。