申请国家赔偿时，应根据具体情形向不同的机关提出申请，具体分为行政赔偿和刑事赔偿两种情况。以下是对这两种情况的详细说明：
一、行政赔偿
适用情形：行政机关及其工作人员在行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害。
申请部门：
- 一般情况：向实施侵权行为的行政机关提出赔偿请求。例如，若某市公安局违法拘留了某人，该人可向市公安局提出赔偿申请。
- 共同行为：两个以上行政机关共同行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织合法权益造成损害的，共同行使行政职权的行政机关为共同赔偿义务机关，申请人可向其中任何一个赔偿义务机关提出赔偿请求。
- 授权或委托：
- 法律、法规授权的组织在行使授予的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，被授权的组织为赔偿义务机关。
- 受行政机关委托的组织或者个人在行使受委托的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，委托的行政机关为赔偿义务机关。
- 后续确定：
- 赔偿义务机关被撤销的，继续行使其职权的行政机关为赔偿义务机关；没有继续行使其职权的行政机关的，撤销该赔偿义务机关的行政机关为赔偿义务机关。
- 经复议机关复议的，最初造成侵权行为的行政机关为赔偿义务机关，但复议机关的复议决定加重损害的，复议机关对加重的部分履行赔偿义务。
- 派出机构：行政机关依据《行政处罚法》等规定设立并赋予行政管理职能但不具有独立承担法律责任能力的派出机构，在其职权范围内作出行政行为侵犯公民、法人或其他组织合法权益造成损害的，设立该派出机构的行政机关为赔偿义务机关。
二、刑事赔偿（司法赔偿）
适用情形：司法机关（包括法院、检察院等）及其工作人员在行使司法职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害。
申请部门：
- 错误限制公民人身自由：作出错误拘留、逮捕决定的机关以及作出错误判决的法院为赔偿义务机关。例如，若某法院错误判决某人有期徒刑，该人可向该法院提出赔偿申请。
- 再审改判无罪：再审改判无罪的，作出原生效判决的人民法院为赔偿义务机关。二审改判无罪，以及二审发回重审后作无罪处理的，作出一审有罪判决的人民法院为赔偿义务机关。
- 侦查、检察、审判及监狱管理机关侵权：行使侦查、检察、审判职权的机关以及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权时侵权，该机关为赔偿义务机关。例如，公安机关在侦查中违法拘留公民，公民应向作出拘留决定的公安机关提出赔偿申请。
申请流程与注意事项
- 提交申请书：赔偿请求人需向赔偿义务机关递交申请书，详细载明受害人的基本信息、具体要求、事实根据和理由。
- 等待赔偿决定：赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定，并充分听取赔偿请求人的意见。决定赔偿的，制作赔偿决定书送达请求人；决定不予赔偿的，书面通知并说明理由。
- 复议与诉讼：赔偿请求人对赔偿决定不服或赔偿义务机关未在规定期限内作出决定的，可依法申请复议或向人民法院提起诉讼。
在申请国家赔偿时，请务必根据具体情况确定正确的赔偿义务机关，并按照法律规定的程序提交申请，准备好相关证据材料。如果您在申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。