申请国家赔偿，应当根据具体情形向不同的赔偿义务机关提出申请。以下是详细说明：
一、行政赔偿的申请部门
一般情况：
- 行政机关及其工作人员在行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，该行政机关为赔偿义务机关。例如，若某市公安局在执法过程中违法拘留了某人，那么该市公安局就是赔偿义务机关，受害人应向市公安局提出赔偿申请。
特殊情况：
- 共同行为：两个以上行政机关共同行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，共同行使行政职权的行政机关为共同赔偿义务机关。申请人可向其中任何一个赔偿义务机关提出赔偿请求。
- 授权或委托：法律、法规授权的组织在行使授予的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，被授权的组织为赔偿义务机关；受行政机关委托的组织或者个人在行使受委托的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，委托的行政机关为赔偿义务机关。申请人应向相应的赔偿义务机关提出赔偿请求。
- 后续确定：赔偿义务机关被撤销的，继续行使其职权的行政机关为赔偿义务机关；没有继续行使其职权的行政机关的，撤销该赔偿义务机关的行政机关为赔偿义务机关。申请人应向确定的赔偿义务机关提出赔偿请求。
- 经复议后变更：经复议机关复议的，最初造成侵权行为的行政机关为赔偿义务机关，但复议机关的复议决定加重损害的，复议机关对加重的部分履行赔偿义务。申请人可根据具体情况选择向相应机关申请。
- 派出机构：行政机关依据《行政处罚法》等规定设立并赋予行政管理职能但不具有独立承担法律责任能力的派出机构，在其职权范围内作出行政行为侵犯公民、法人或其他组织合法权益造成损害的，设立该派出机构的行政机关为赔偿义务机关。申请人应向设立该派出机构的行政机关提出赔偿请求。
二、司法赔偿的申请部门
刑事司法赔偿：
- 行使侦查、检察、审判职权的机关以及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，该机关为赔偿义务机关。例如，若某法院在审理案件过程中违法对当事人采取了强制措施，那么该法院就是赔偿义务机关，受害人应向该法院提出赔偿申请。
- 对公民采取拘留措施，依照《中华人民共和国国家赔偿法》的规定应当给予国家赔偿的，作出拘留决定的机关为赔偿义务机关。
- 对公民采取逮捕措施后决定撤销案件、不起诉或者判决宣告无罪的，作出逮捕决定的机关为赔偿义务机关。
- 再审改判无罪的，作出原生效判决的人民法院为赔偿义务机关。二审改判无罪，以及二审发回重审后作无罪处理的，作出一审有罪判决的人民法院为赔偿义务机关。
非刑事司法赔偿（如民事、行政诉讼过程中的错误行为）：
- 一般也由相应的司法机关作为赔偿义务机关。例如，若某法院在民事诉讼过程中错误查封了当事人的财产，导致当事人遭受损失，那么该法院就是赔偿义务机关。
三、申请流程与注意事项
申请流程：
- 赔偿请求人应当先向赔偿义务机关提出赔偿申请，赔偿义务机关应当自收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。
- 赔偿义务机关作出赔偿决定后，应当制作赔偿决定书，并自作出决定之日起十日内送达赔偿请求人。
注意事项：
- 赔偿请求人的资格：受害的公民、法人和其他组织有权要求赔偿。受害的公民死亡，其继承人和其他有扶养关系的亲属有权要求赔偿。受害的法人或者其他组织终止的，其权利承受人有权要求赔偿。
- 申请材料：赔偿请求人应当向赔偿义务机关提交赔偿申请书，载明受害人的基本情况、具体的要求、事实根据和理由等事项。
- 时效问题：赔偿请求人请求国家赔偿的时效为两年，自其知道或者应当知道国家机关及其工作人员行使职权时的行为侵犯其人身权、财产权之日起计算。
在申请国家赔偿时，请务必根据具体情况选择正确的赔偿义务机关，并按照规定的流程和要求提交申请材料。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。