国家赔偿的费用最终由各级财政按照管理体制分级负担，具体支付工作则由赔偿义务机关负责。以下是对这一问题的详细解答：
一、赔偿义务机关的确定
国家赔偿主要分为行政赔偿和刑事赔偿两大类，每类赔偿的赔偿义务机关根据具体情况有所不同：
行政赔偿：
- 一般情况：行政机关及其工作人员行使行政职权侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，该行政机关为赔偿义务机关。例如，某县市场监督管理局违法吊销某企业营业执照，县市场监督管理局即为赔偿义务机关。
- 共同行政行为：两个以上行政机关共同行使行政职权时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，共同行使行政职权的行政机关为共同赔偿义务机关。如县环保局与县水利局联合执法过程中违法对某工厂进行罚款，二者即为共同赔偿义务机关。
- 授权组织：法律、法规授权的组织在行使授予的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，被授权的组织为赔偿义务机关。例如，某高校被法律授权对学生学位资格进行审核授予，若在此过程中侵犯学生合法权益，则该高校为赔偿义务机关。
- 委托行政：受行政机关委托的组织或者个人在行使受委托的行政权力时侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损害的，委托的行政机关为赔偿义务机关。例如，乡政府委托某村委会代行某项行政职权，村委会在执行中侵权，则乡政府为赔偿义务机关。
- 行政机关撤销情形：赔偿义务机关被撤销的，继续行使其职权的行政机关为赔偿义务机关；没有继续行使其职权的行政机关的，撤销该赔偿义务机关的行政机关为赔偿义务机关。
- 复议后赔偿：经复议机关复议的，最初造成侵权行为的行政机关为赔偿义务机关，但复议机关的复议决定加重损害的，复议机关对加重的部分履行赔偿义务。
刑事赔偿：
- 拘留措施：对公民采取拘留措施，依照《国家赔偿法》的规定应当给予国家赔偿的，作出拘留决定的机关为赔偿义务机关。通常是公安机关、国家安全机关等有权作出拘留决定的机关。
- 逮捕后无罪处理：对公民采取逮捕措施后决定撤销案件、不起诉或者判决宣告无罪的，作出逮捕决定的机关为赔偿义务机关。在我国，一般是人民检察院作出逮捕决定，所以通常检察院是此类情况的赔偿义务机关。
- 再审改判无罪：作出原生效判决的人民法院为赔偿义务机关。
- 二审改判无罪：以及二审发回重审后作无罪处理的，作出一审有罪判决的人民法院为赔偿义务机关。
二、赔偿费用的支付
赔偿义务机关确定后，赔偿费用的支付流程如下：
- 赔偿义务机关先行支付：赔偿义务机关应当从本单位预算经费和留归本单位使用的资金中先行支付赔偿金。这意味着，赔偿义务机关需要首先承担起支付赔偿金的责任。
- 向财政部门申请核拨：赔偿义务机关支付赔偿金后，应当向同级财政部门提出申请，要求核拨赔偿费用。财政部门在审核通过后，会将赔偿费用拨付给赔偿义务机关。
- 财政部门支付赔偿金：赔偿义务机关收到财政部门拨付的赔偿费用后，应当及时向赔偿请求人支付赔偿金。这一流程确保了赔偿金的及时支付，体现了国家对公民、法人和其他组织合法权益的保护。
三、实际案例说明
以行政赔偿为例，假设某县公安局违法拘留了公民张某，导致张某遭受了经济损失和精神损害。在这种情况下，县公安局即为赔偿义务机关。县公安局应当从其预算经费中先行支付赔偿金给张某，然后向县财政局申请核拨赔偿费用。县财政局在审核通过后，会将赔偿费用拨付给县公安局，由县公安局最终支付给张某。
综上所述，国家赔偿的费用最终由各级财政按照管理体制分级负担，而具体支付工作则由赔偿义务机关负责。这一制度确保了国家赔偿的公正性和及时性，有效保障了公民的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。