结论：在判决后达成庭外和解，且已履行部分和解协议的情况下，能否申请强制执行原判决中的连带责任，需视具体情况而定。以下从不同角度进行分析：
一、和解协议与原判决的关系
- 和解协议的独立性：庭外和解是双方当事人在判决后，基于自愿原则达成的协议，旨在解决争议或部分争议。和解协议一旦成立，即具有独立的法律效力，对双方当事人均具有约束力。
- 原判决的效力：原判决是法院根据事实和法律作出的裁判，具有既判力和执行力。在和解协议未完全履行或未履行的情况下，原判决的执行力原则上不受影响。
二、能否申请强制执行原判决中的连带责任
和解协议未完全履行：
- 如果和解协议仅部分履行，且未履行的部分与原判决中的连带责任相关，那么申请执行人仍有权就未履行的部分申请强制执行原判决中的连带责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，执行依据是生效的法律文书，包括判决、裁定等。在和解协议未完全履行的情况下，原判决作为生效法律文书，其执行力不受影响。
和解协议已完全履行，但存在其他违约情形：
- 如果和解协议已完全履行，但一方当事人存在其他违约情形（如和解协议中的附条件未成就、一方当事人违反和解协议中的其他约定等），且这些违约情形与原判决中的连带责任无直接关联，那么申请执行人通常不能直接申请强制执行原判决中的连带责任。此时，申请执行人可能需要通过另行起诉等方式来维护自己的权益。
- 例外情况：如果和解协议中明确约定了违约责任，且该违约责任与原判决中的连带责任有直接关联（如和解协议中约定，若一方未履行和解协议，则另一方有权申请强制执行原判决中的连带责任），那么在这种情况下，申请执行人可能有权根据和解协议的约定申请强制执行原判决中的连带责任。
和解协议与原判决的冲突解决：
- 如果和解协议与原判决在内容上存在冲突（如和解协议变更了原判决中的连带责任范围、履行方式等），且双方当事人未就冲突部分达成新的合意，那么在这种情况下，申请执行人通常不能直接申请强制执行原判决中的连带责任。此时，双方当事人可能需要通过协商、调解或另行起诉等方式来解决冲突。
三、建议与注意事项
- 仔细审查和解协议：在达成庭外和解前，双方当事人应仔细审查和解协议的内容，确保和解协议明确、具体、无歧义，并充分考虑可能出现的风险和后果。
- 保留相关证据：在履行和解协议的过程中，双方当事人应保留好相关证据（如付款凭证、收货凭证、沟通记录等），以备不时之需。
- 及时咨询专业律师：如果双方当事人在和解协议的履行过程中出现争议或纠纷，应及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并寻求合法的解决途径。
举例说明：假设甲、乙双方因一起合同纠纷诉至法院，法院判决乙对甲承担连带责任。判决后，甲、乙双方达成庭外和解协议，约定乙在一定期限内向甲支付一定金额的款项作为和解。如果乙未按和解协议履行全部义务，甲仍有权就未履行的部分申请强制执行原判决中的连带责任。但如果和解协议已完全履行，且不存在其他违约情形或冲突部分，那么甲通常不能直接申请强制执行原判决中的连带责任。
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