针对您提出的“被告抗辩诉讼时效届满法院不审查怎么办”这一问题，我将结合相关法律规定及司法实践，为您详细解答。
首先，我们需要明确诉讼时效的基本概念及其法律后果。诉讼时效是指权利人在法定期间内不行使权利，即丧失请求利益的时效制度。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，诉讼时效期间届满后，权利人虽仍享有实体权利，但会丧失通过司法强制力要求义务人履行义务的胜诉权。这意味着，如果被告以诉讼时效届满为由提出抗辩，并且这一抗辩事由被法院认定成立，那么法院将判决驳回原告的诉讼请求。
接下来，我们分析法院在面对被告提出诉讼时效抗辩时的审查义务。根据《最高人民法院关于审理民事案件适用诉讼时效制度若干问题的规定》，如果被告在诉讼中明确提出了诉讼时效抗辩，法院是有义务进行审查的。审查的内容主要包括诉讼时效是否确实已经届满，以及是否存在诉讼时效中止、中断等法定情形。如果法院经过审查，确认诉讼时效已经届满，并且不存在中止、中断等情形，那么法院将依法判决驳回原告的诉讼请求。
那么，针对您提出的问题，如果被告抗辩诉讼时效届满但法院不审查，这通常是不符合法律规定的。在这种情况下，您可以采取以下措施：
明确提出审查请求：在庭审过程中，您可以明确向法院提出对被告提出的诉讼时效抗辩进行审查的请求。这有助于提醒法院履行其审查义务。
提供相关证据：为了支持您的请求，您可以提供相关证据来证明诉讼时效并未届满，或者存在诉讼时效中止、中断等情形。这些证据可能包括书面合同、往来函件、付款记录等。
引用法律规定：在提出审查请求时，您可以引用相关法律规定，如《中华人民共和国民法典》中关于诉讼时效的规定，以及《最高人民法院关于审理民事案件适用诉讼时效制度若干问题的规定》中关于法院审查义务的规定，来增强您的请求的说服力。
寻求法律援助：如果您对法律程序不熟悉或者感到困惑，您可以寻求专业律师的法律援助。律师将能够为您提供专业的法律建议，并帮助您在庭审过程中有效地维护自己的权益。
最后，我想强调的是，诉讼时效制度是法律上的一项重要制度，它旨在督促权利人及时行使权利，并保护义务人的合法权益。因此，在实际应用中，权利人应充分了解并关注诉讼时效的相关规定，以避免因超过诉讼时效而丧失胜诉权。同时，如果被告提出了诉讼时效抗辩，法院也有义务进行审查，并根据审查结果作出公正的判决。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时咨询。