当公司没有提前一个月通知就辞退员工或进行裁员时，赔偿问题的处理确实需要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，并结合具体情况来细致分析。以下是对这一问题的详细解答：
一、判断解除或裁员的合法性
首先，要明确公司辞退员工或进行裁员的行为是否合法。如果公司辞退员工符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如员工严重违反规章制度、严重失职等，并且公司有确凿的证据支持，那么这种解除是合法的，公司无需提前通知，也无需支付代通知金或经济补偿金。然而，如果公司辞退员工或进行裁员不属于这些法定情形，或者虽然属于可解除情形但未提前一个月书面通知，那么就可能构成违法解除或裁员。
二、合法解除或裁员但未提前通知的赔偿
如果公司辞退员工或进行裁员是合法的，但未提前一个月通知，那么公司应额外支付员工一个月工资作为代通知金。这里的“一个月工资”指的是员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。此外，根据员工在公司的工作年限，公司还需要支付经济补偿金。具体标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
三、违法解除或裁员的赔偿
如果公司辞退员工或进行裁员是违法的，那么员工有权选择要求继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍，即员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。
四、特殊情况处理
对于在公司工作10年以上的员工，如果属于合法辞退或裁员，公司通常无需支付额外的经济补偿（除非双方有特别约定或符合其他支付条件）。但如果双方协商一致解除劳动合同，公司应按员工工作年限支付经济补偿。如果属于违法辞退或裁员，公司则需支付二倍的经济补偿作为赔偿金。
五、操作建议与注意事项
保留证据：员工在面临辞退或裁员时，应首先保留所有相关的证据，如辞退通知、裁员通知、工资单、劳动合同等，以备不时之需。
与公司协商：在了解了自己的权益后，员工可以尝试与公司进行协商，要求公司按照法律规定支付相应的赔偿或补偿。
寻求法律帮助：如果协商无果，员工可以向劳动监察部门投诉，或者依法向劳动仲裁机构申请仲裁。对仲裁结果不服的，还可以向法院提起诉讼。
咨询专业律师：在整个过程中，建议员工咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助，确保自己的权益得到充分保障。
综上所述，公司没有提前一个月通知就辞退员工或进行裁员时，赔偿问题的处理需要根据解除或裁员的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定。员工应充分了解相关法律法规，积极维护自己的合法权益。