结论：公司能否在合同未续签且员工被客人投诉的情况下不给赔偿金开除员工，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、合同到期未续签的法律后果
合同到期未续签，但劳动关系继续存在：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，劳动者仍在用人单位工作，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。此时，双方之间形成的是事实劳动关系。
- 在此情况下，如果公司想要解除与员工的劳动关系，必须遵循法律规定的程序和条件，不能随意开除员工。
合同到期未续签，且公司明确表示不再续签：
- 如果公司在合同到期前或到期时明确表示不再续签劳动合同，那么双方之间的劳动关系将自然终止。
- 在此情况下，公司通常需要按照法律规定向员工支付经济补偿金（除非员工存在过错或双方另有约定）。
二、被客人投诉是否构成公司开除员工的合法理由
投诉内容与员工职责相关，且投诉属实：
- 如果客人的投诉内容与员工的工作职责紧密相关，且经过调查核实投诉属实，那么这可能构成公司开除员工的合法理由之一。
- 但即便如此，公司也需要遵循法律规定的程序，如提前通知员工、听取员工申辩、进行内部调查等，不能直接开除员工而不给予任何解释或补偿。
投诉内容与员工职责无关，或投诉不属实：
- 如果客人的投诉内容与员工的工作职责无关，或者经过调查核实投诉不属实，那么公司不能以此为由开除员工。
- 在此情况下，如果公司仍然坚持开除员工，那么员工有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。
三、公司不给赔偿金开除员工的法律后果
如果公司开除员工的行为违法：
- 根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 这意味着，如果公司没有合法理由开除员工，或者没有遵循法律规定的程序开除员工，那么员工有权要求公司支付赔偿金。
如果公司开除员工的行为合法：
- 如果公司能够证明开除员工的行为是合法的（如员工存在严重违反公司规章制度的行为），那么公司可能不需要支付赔偿金。
- 但即便如此，公司也需要确保开除员工的程序合法，如提前通知员工、听取员工申辩等。
四、建议
对于员工：
- 如果公司以被客人投诉为由开除你，且未支付赔偿金，你可以先与公司协商解决。
- 如果协商无果，你可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付赔偿金。
对于公司：
- 在开除员工前，务必确保有合法理由且程序合法。
- 如果员工存在过错或违反公司规章制度，建议公司先进行内部调查并听取员工申辩，再根据调查结果决定是否开除员工。
- 如果决定开除员工，务必按照法律规定支付经济补偿金或赔偿金（如适用）。
总结：公司能否在合同未续签且员工被客人投诉的情况下不给赔偿金开除员工，取决于多个因素，包括合同到期后的劳动关系状态、投诉内容的真实性及与员工职责的相关性、以及公司开除员工的程序是否合法等。如果你或公司面临此类问题，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议。