公办学校合同制教师不可以随便开除。以下从不同角度为你详细分析：
合同约定角度
公办学校与合同制教师签订的合同，是双方权利义务的重要依据。合同中通常会明确规定双方的权利和义务，包括教师的工作内容、工作期限、薪资待遇以及学校解除合同的条件等。如果学校想要开除合同制教师，必须依据合同中的约定来进行。例如，合同中可能规定，教师在严重违反学校规章制度、严重失职造成重大损失等情况下，学校有权解除合同。但如果学校没有合同约定的合理理由，随意开除教师，就属于违约行为，需要承担相应的违约责任。
法律法规角度
根据《劳动合同法》等相关法律法规，用人单位解除劳动合同需要符合法定条件。对于公办学校合同制教师而言，学校并非可以随意解除劳动合同。只有在教师存在以下情形之一时，学校才可以解除劳动合同：
- 在试用期间被证明不符合录用条件的：学校在招聘合同制教师时，通常会设定一定的试用期，在试用期内对教师的工作能力、教学水平等进行考察。如果教师在试用期内被证明不符合录用条件，学校可以解除劳动合同。但学校需要提供充分的证据证明教师不符合录用条件，例如教学评估不合格、无法完成教学任务等。
- 严重违反用人单位的规章制度的：学校都有自己的规章制度，合同制教师需要遵守这些规章制度。如果教师严重违反学校的规章制度，如经常旷课、体罚学生等，学校可以依据规章制度解除劳动合同。但学校的规章制度必须合法合理，并且已经向教师公示或告知。
- 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：如果教师在工作中严重失职，例如在教学事故中负有主要责任，或者营私舞弊，如收受学生家长贿赂等，给学校造成重大损害的，学校可以解除劳动合同。这里的“重大损害”需要根据具体情况进行判断，学校需要提供相应的证据证明损害的存在和程度。
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：如果合同制教师在与公办学校签订劳动合同的同时，又与其他用人单位建立劳动关系，并且这种行为对完成公办学校的工作任务造成了严重影响，或者公办学校提出后，教师拒不改正的，学校可以解除劳动合同。
- 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的：《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定，以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的，劳动合同无效。如果教师在与学校签订劳动合同时存在欺诈、胁迫等行为，导致劳动合同无效的，学校可以解除劳动合同。
- 被依法追究刑事责任的：如果教师被依法追究刑事责任，学校可以解除劳动合同。
程序合法角度
即使学校有合法理由解除与合同制教师的劳动合同，也需要遵循一定的程序。一般来说，学校需要提前通知教师，并说明解除合同的理由。如果教师认为学校的解除行为不合法，可以通过劳动仲裁等途径维护自己的合法权益。在劳动仲裁过程中，学校需要提供充分的证据证明其解除行为的合法性，否则可能会被认定为违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任，如支付赔偿金等。
建议：如果你是公办学校合同制教师，遇到学校随意开除的情况，要保留好相关证据，如劳动合同、工作记录、学校通知等，及时向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。如果学校在解除合同过程中存在违法行为，你还可以要求学校支付赔偿金等。有问题可以直接向我咨询。