行政机关不执行行政复议决定时，申请法院强制执行的法律依据主要包括以下几点：
《中华人民共和国行政复议法》的相关规定：
- 第七十七条：明确指出，被申请人应当履行行政复议决定书。若被申请人不履行或者无正当理由拖延履行行政复议决定书的，行政复议机关或者有关上级行政机关将责令其限期履行，并可以约谈被申请人的有关负责人或者予以通报批评。这一条款为行政机关不执行行政复议决定时，提供了责令履行和通报批评等行政手段，同时也为后续申请法院强制执行奠定了基础，因为若行政手段无效，则可进一步采取司法手段。
- 第三十三条（虽直接针对申请人不履行，但间接说明执行机制）：若行政复议决定变更了原具体行政行为，而申请人逾期不起诉又不履行该变更决定，则由行政复议机关依法强制执行，或者向人民法院申请强制执行。这一规定体现了行政复议机关对变更决定的执行权力，也暗示了当行政机关不执行复议决定时，同样可以寻求法院的强制执行。
《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定：
- 第九十七条：公民、法人或者其他组织对行政行为在法定期限内不提起诉讼又不履行的，行政机关可以申请人民法院强制执行，或者依法强制执行。虽然此条款直接针对的是公民、法人或其他组织对行政行为的不履行，但行政机关不执行行政复议决定，在性质上也可视为一种“不履行”行为，且行政复议决定本身具有行政行为的属性，因此可类比适用。更重要的是，它确立了行政机关在特定条件下可以申请法院强制执行的基本原则。
《中华人民共和国行政强制法》的相关规定：
- 第五十三条：当事人在法定期限内不申请行政复议或者提起行政诉讼，又不履行行政决定的，没有行政强制执行权的行政机关可以自期限届满之日起三个月内，依照本章规定申请人民法院强制执行。此条款直接针对行政机关申请法院强制执行的条件和时限进行了明确规定，虽然它主要针对的是“行政决定”，但行政复议决定作为对原行政行为的审查结果，同样具有行政决定的性质，因此可适用此条款。
申请法院强制执行的具体流程与注意事项：
流程：
- 催告程序：行政机关在申请法院强制执行前，应依法催告当事人（在此情况下为不执行复议决定的行政机关）履行义务。催告书送达十日后，当事人仍未履行义务的，方可申请强制执行。
- 提交申请材料：行政机关需向人民法院提交完整的申请材料，包括但不限于强制执行申请书、行政复议决定书、催告书及送达回证等。
- 法院审查：人民法院将对行政机关的申请进行审查，包括行政复议决定的合法性、申请条件的满足情况以及申请材料的完整性等。
注意事项：
- 行政机关在申请法院强制执行时，必须确保行政复议决定已经生效且具有可执行内容。
- 申请应在法定期限内提出，通常是在被执行人的法定起诉期限届满之日起三个月内。
- 被申请执行的行政案件应属于受理执行申请的人民法院管辖。对于不动产的执行，应向不动产所在地的基层人民法院申请。
法律后果：
若行政机关不执行行政复议决定，且经催告后仍未履行，行政复议机关或有关上级行政机关可责令其限期履行，并可能予以通报批评。若行政机关仍不履行，则相关行政机关或行政复议机关可依法向人民法院申请强制执行。人民法院在受理申请后，有权根据不同情形采取多种执行措施，如查封、扣押、冻结、拍卖、变卖被执行人应当履行义务部分的财产等，以确保行政复议决定的执行。
建议：
行政机关在收到行政复议决定后，应认真审查并决定是否履行。若认为复议决定有误，可通过法律途径寻求救济，如提起行政诉讼等。但一旦复议决定生效，行政机关就应积极履行，以避免不必要的法律后果。若遇到执行困难或疑问，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议。