结论：针对家养猫跑到别人家抓人后被打的情况，需要分情况讨论责任归属及处理方式。以下从不同角度为你详细分析：

一、动物饲养人（即猫主人）的责任

1. 动物侵权的责任原则

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条：“饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。”
   • 这意味着，如果家养猫抓伤了他人，原则上猫主人需要承担侵权责任，赔偿对方因此遭受的损失，如医疗费、误工费等。

2. 猫主人可能减轻或免除责任的情况

   • 如果被侵权人（即被打的人）存在故意或重大过失，比如故意挑逗、攻击猫，导致被猫抓伤，那么猫主人可能减轻或免除责任。
   • 但在此案例中，被侵权人是在自己家中被猫抓伤，且并未提及被侵权人有故意或重大过失的行为，因此猫主人难以减轻或免除责任。

二、被打者的行为及责任

1. 正当防卫的考量

   • 如果被打者在被猫抓伤的过程中，为了保护自己的人身安全而采取了合理的防卫措施，如轻轻推开猫、使用非致命性工具驱赶猫等，且未造成猫不必要的伤害，那么这种行为通常被视为正当防卫，不需要承担责任。
   • 然而，如果被打者使用了过度暴力，如严重殴打猫，导致猫受伤或死亡，且这种暴力行为超出了必要的防卫限度，那么被打者可能需要承担相应的责任，如赔偿猫主人的损失。

2. 故意伤害动物的责任

   • 如果被打者出于报复、恶意等目的，故意伤害猫，那么这种行为可能构成故意毁坏财物罪（如果猫的价值达到一定标准）或违反治安管理处罚法的相关规定，需要承担相应的刑事责任或行政责任。
   • 同时，猫主人也有权要求被打者赔偿因猫受伤或死亡而遭受的损失。

三、建议处理方式

1. 协商解决

   • 在发生此类纠纷后，建议双方首先尝试通过协商解决。猫主人可以主动承担被侵权人的合理医疗费用等损失，以表达歉意和诚意。
   • 被打者也应理性对待，不要采取过度暴力或报复行为，以免引发更大的纠纷和法律责任。

2. 寻求第三方调解或法律途径

   • 如果双方无法协商解决，可以寻求第三方调解机构的帮助，如社区调解委员会、人民调解委员会等。
   • 如果调解无果或纠纷涉及较大金额或严重后果，双方也可以考虑通过法律途径解决，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。

进一步思考：在处理此类纠纷时，双方应保持冷静和理性，避免情绪化行为导致纠纷升级。同时，猫主人也应加强对宠物的管理和约束，防止类似事件再次发生。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。