在检察院不予起诉的情况下，当事人是可以申请并开出无犯罪记录证明的。以下是对这一问题的详细分析：

一、无犯罪记录证明的含义与重要性

无犯罪记录证明是用于证明个人在一定时间范围内没有犯罪行为的重要文件。它表明行为人在法律上没有犯罪记录的状态，即未曾经因违法犯罪行为被司法机关判决有罪或受到过刑事处罚。这一证明在求职、入学、出国等多个领域都具有重要的应用价值，是公民个人品行和法律遵守情况的重要证明。

二、检察院不予起诉的法律含义

检察院不予起诉决定在法律层面上具有重大意义。它意味着犯罪嫌疑人不需要承担刑事责任，即尚未构成犯罪的事实。不予起诉有多种情形，包括法定不起诉（如犯罪嫌疑人具有《刑事诉讼法》规定的不追究刑事责任的情形）、酌定不起诉（如犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的）以及证据不足不起诉等。这些情形的共同点是，检察院经过审查认为没有足够的证据或法律依据对犯罪嫌疑人提起公诉。

三、检察院不予起诉与无犯罪记录证明的关系及申请流程

1. 法律层面的认定：

   • 由于检察院不予起诉即意味着犯罪嫌疑人没有被法院判定有罪，因此在法律上，该当事人不被认定构成犯罪。这是开具无犯罪记录证明的法律基础。

2. 实践操作的依据：

   • 在实践中，相关部门在开具无犯罪记录证明时，会根据检察院的不予起诉决定，为当事人出具相应的证明文件。这是因为检察院的不予起诉决定是官方对当事人无罪状态的一种法律确认。

3. 申请与开具流程：

   • 当事人可以向户籍地或居住地的公安派出所申请开具无犯罪记录证明。
   • 在提交申请时，应提供有效的身份证明以及检察院的不予起诉决定书等相关材料。
   • 公安派出所在核实无误后，会为当事人出具无犯罪记录证明。

四、可能遇到的问题及解决方案

1. 如果公安派出所拒绝开具无犯罪记录证明：

   • 当事人可以要求公安派出所出具书面说明，明确拒绝开具的理由。
   • 如果认为公安派出所的拒绝理由不成立，当事人可以向其上级公安机关或相关部门进行申诉或投诉。
   • 在必要时，当事人还可以寻求法律援助或咨询专业律师，通过法律途径维护自己的合法权益。

2. 如果检察院的不予起诉决定书丢失或损坏：

   • 当事人可以向作出不予起诉决定的检察院申请补发或出具相关证明文件。
   • 检察院在核实当事人的身份和案件情况后，通常会为当事人补发不予起诉决定书或出具相关证明文件。

总结与建议：在检察院不予起诉的情况下，当事人完全有权要求相关部门开具无犯罪记录证明。如果遇到任何困难或问题，建议当事人及时咨询专业律师或相关部门，以维护自己的合法权益。如果你有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询。