结论：法院在支持合同约定的违约金后，是否还支持逾期付款利息，需根据具体情况判断，并非一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、违约金与逾期利息的法律性质
- 违约金：是合同双方约定的违约赔偿方式，具有补偿性和惩罚性双重属性。它旨在弥补因违约行为给守约方造成的损失，并可能对违约方产生一定的惩罚效果。
- 逾期利息/资金占用损失：因违约方未按时付款导致的实际损失，属于法定孳息范畴。它反映了资金被占用期间所产生的成本或收益损失。
二、法律依据分析
- 《民法典》第五百八十五条：明确规定了违约金可与实际损失并存，但总额需以实际损失为限。若违约金低于损失，守约方可请求增加；若高于损失且过分高于，违约方可请求调减。这一条款为判断违约金与逾期利息能否同时支持提供了法律依据。
三、具体情形处理规则
违约金足以弥补损失：
- 处理结果：不支持逾期利息。
- 说明：例如，合同约定逾期每日按0.5%支付违约金，已远超同期贷款利率，此时违约金已合理涵盖资金占用成本，法院通常不会额外支持逾期利息。
违约金不足以弥补损失：
- 处理结果：支持逾期利息差额。
- 说明：如约定违约金仅为固定金额，而实际逾期时间较长导致利息损失显著超过违约金数额，法院可能判决违约方支付逾期利息差额，以充分弥补守约方的实际损失。
无违约金约定：
- 处理结果：直接主张逾期利息。
- 说明：合同未约定违约金时，守约方可直接要求违约方按LPR（贷款市场报价利率）等标准计算资金占用损失，即逾期利息。
四、操作建议
合同条款设计：
- 在签订合同时，应明确违约金计算方式（如按日计收）及是否包含资金成本，以避免后续争议。
- 考虑约定违约金的上限或调整机制，以平衡双方利益。
证据准备：
- 主张逾期利息时，需提供资金被占用的证明，如贷款合同、融资成本凭证等，以证明实际损失的存在和数额。
诉讼策略：
- 若违约金约定不明确或存在争议，可同时列明违约金和逾期利息请求，由法院根据具体情况裁量支持。
- 在诉讼过程中，应积极举证和辩论，以争取法院支持自己的主张。
五、典型案例参考
- 案例一：甲公司逾期支付货款，合同约定违约金为合同总价5%。法院认为该比例已合理涵盖资金占用成本，驳回甲公司要求额外支付利息的诉求。
- 案例二：乙公司逾期交货，约定违约金为每日0.1%，但实际逾期期间银行贷款利率为4.35%。法院认定违约金过低，判决按贷款利率补足利息差额。
总结：法院在支持合同约定的违约金后，是否还支持逾期付款利息，取决于违约金是否足以弥补守约方的实际损失。若违约金已合理涵盖资金占用成本，则法院通常不会额外支持逾期利息；若违约金不足以弥补损失，则法院可能判决违约方支付逾期利息差额。因此，在签订合同时应明确违约金条款，并在主张权利时提供充分证据以支持自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。