结论：工作未续合同的情况下，能否请长期病假取决于多个因素，包括原劳动合同的终止情况、是否形成事实劳动关系、病假的医疗期规定以及公司的规章制度等。以下是对这些因素的详细分析：

1. 原劳动合同终止与事实劳动关系：

   • 如果原劳动合同已经到期且未续签，但员工仍在公司工作，双方可能形成了事实劳动关系。在这种情况下，员工仍然享有劳动法规定的部分权益，包括病假权益，但具体权益可能因未签订书面合同而有所限制。
   • 如果原劳动合同明确到期终止，且双方未就续签达成一致，员工则不再享有基于原合同的病假权益。然而，如果员工因病需要治疗，仍可根据相关法律法规（如《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》）享受一定的医疗期。

2. 医疗期的规定：

   • 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。
   • 医疗期的具体长度取决于员工的实际工作年限和在本单位的工作年限。在医疗期内，员工享有病假工资、医疗费用报销等权益。

3. 公司规章制度与劳动合同约定：

   • 即使原劳动合同未续签，如果公司规章制度或原劳动合同中有关于病假的具体规定，员工仍应遵守这些规定。例如，病假申请流程、病假期间的工资待遇等。
   • 如果公司规章制度或原劳动合同中未明确规定病假相关事宜，员工则应依据相关法律法规和公司的实际做法来主张自己的权益。

4. 实际操作建议：

   • 与雇主沟通：首先，建议员工与雇主进行沟通，明确双方的权利和义务，以及病假申请的具体流程和要求。
   • 了解法律法规：员工应了解并熟悉相关法律法规，特别是关于医疗期、病假工资等方面的规定，以便在需要时能够维护自己的合法权益。
   • 保留证据：在申请病假时，员工应保留好相关的医疗证明和请假记录等证据，以备不时之需。

可能遇到的法律后果：

• 如果员工未经批准擅自离岗或未按照公司规定申请病假，可能面临被公司视为旷工、解除劳动合同等法律后果。
• 如果公司拒绝员工合理的病假申请或未按照法律法规支付病假工资等，员工可以通过劳动仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。

额外提醒：

• 鉴于劳动法的复杂性和地域性差异，建议员工在遇到具体问题时及时咨询专业律师或当地劳动部门，以获取更准确和具体的法律建议。

如有任何进一步的问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。