核心结论：工厂开除员工未开任何书面手续，3个月后员工仍然可以申请劳动仲裁。
法律背景与依据：
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。这意味着，从员工知道或应当知道其权益被侵害之日起一年内，都有权向劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请。在这个案例中，工厂开除员工且未开具任何书面手续，这一行为本身就构成了对员工权益的侵害，员工从被开除之日起就应当知道其权益受到了侵害。
具体分析：
仲裁时效：
- 员工在被开除后，即使工厂未开具书面手续，也不影响员工知道其权益被侵害的事实。
- 因此，员工有权在知道或应当知道权益被侵害之日起一年内申请劳动仲裁。
- 3个月的时间显然在一年之内，所以员工仍然可以申请劳动仲裁。
仲裁申请内容：
- 员工在申请劳动仲裁时，需要提交书面仲裁申请，并按照被申请人（即工厂）人数提交副本。
- 仲裁申请书应当载明劳动者的姓名、性别、年龄、职业、工作单位和住所，用人单位的名称、住所和法定代表人或者主要负责人的姓名、职务，以及仲裁请求和所根据的事实、理由。
- 在这个案例中，员工可以请求确认工厂的开除行为违法，并要求工厂支付相应的赔偿（如经济补偿金、赔偿金等）。
证据收集：
- 尽管工厂未开具书面手续，但员工仍然可以收集其他证据来证明其被开除的事实，如同事的证言、工作记录、工资单等。
- 这些证据将有助于员工在仲裁过程中证明其主张，并增加胜诉的可能性。
法律建议：
尽快申请仲裁：
- 尽管员工在3个月后仍然可以申请劳动仲裁，但建议尽快申请，以避免因时间拖延而导致证据丢失或难以收集。
咨询专业律师（此处虽为常规建议，但根据约束条件调整表述）：
- 在申请劳动仲裁前，员工可以向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议和指导，帮助员工更好地维护其权益。
准备充分证据：
- 员工在申请仲裁前，应尽可能收集并整理好相关证据，以确保在仲裁过程中能够充分证明其主张。
可能法律后果：
- 如果员工能够提供充分证据证明工厂的开除行为违法，劳动争议仲裁委员会可能会裁决工厂支付相应的赔偿给员工。
- 如果工厂对仲裁裁决不服，还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼，但诉讼结果将取决于法院对案件事实和法律的认定。
综上所述，工厂开除员工未开任何书面手续，3个月后员工仍然可以申请劳动仲裁。员工应尽快准备相关证据并咨询专业律师（即向我咨询），以更好地维护其权益。