结论前置：公司需要支付经济补偿金或赔偿金的情形主要包括劳动者因公司特定违法行为或合同无法履行等原因解除劳动合同，以及公司因各种原因解除或终止劳动合同两大类。以下是对这些情形的详细归纳和解释：
一、劳动者解除劳动合同，公司需支付经济补偿金的情形
未提供劳动保护或条件：
- 若公司未按劳动合同约定提供必要的劳动保护或条件，如安全设备、适宜的工作环境等，导致劳动者因此解除合同，公司应支付经济补偿。
未及时足额支付劳动报酬：
- 包括工资拖延发放、未按约定金额支付，或支付工资低于当地最低工资标准等情形。若劳动者因此解除合同，公司需支付经济补偿金。
未依法缴纳社会保险费：
- 公司未按规定为劳动者缴纳社会保险（养老、医疗、失业、工伤、生育），劳动者因此解除合同，公司应支付经济补偿。
规章制度违法损害权益：
- 若公司的规章制度违反法律法规，损害劳动者权益，如设置不合理罚款条款等，劳动者因此离职，公司需支付经济补偿金。
欺诈、胁迫订立或变更合同：
- 公司通过欺诈、胁迫手段或乘人之危使劳动者违背真实意思订立或变更合同，劳动者因此解除合同，公司需支付经济补偿。
暴力、威胁或非法限制人身自由：
- 公司以暴力、威胁或非法限制人身自由的手段强迫劳动者劳动，或者违章指挥、强令冒险作业危及劳动者人身安全，劳动者因此解除合同，公司需支付经济补偿。
其他法定情形：
- 法律、行政法规规定的其他劳动者可以解除劳动合同的情形，若导致合同解除，公司也可能需要支付经济补偿金。
二、公司解除或终止劳动合同，需支付经济补偿金的情形
协商一致解除：
- 公司主动提出并与劳动者协商一致解除劳动合同，公司应支付经济补偿金。
疾病或非因工负伤：
- 劳动者患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作或公司另行安排的工作，公司提前通知或额外支付一个月工资后解除合同，应支付经济补偿。
不能胜任工作：
- 劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任，公司提前通知或额外支付一个月工资后解除合同，应支付经济补偿。
客观情况变化：
- 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且公司与劳动者未能就变更合同内容达成协议，公司因此解除合同，需支付经济补偿。
经济性裁员：
- 公司因破产、经营困难、转产、重大技术革新、经营方式调整或其他客观经济情况发生重大变化而裁员，应支付经济补偿金。
合同期满不续订：
- 劳动合同期满，公司不同意续订劳动合同（除非公司维持或提高合同约定条件而劳动者不同意续订），公司应支付经济补偿金。
公司终止情形：
- 公司被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散，导致劳动合同终止，公司应支付经济补偿金。
三、经济补偿金的计算方式
经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。若劳动者月工资高于所在地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且经济补偿的年限最高不超过十二年。
计算公式：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月平均工资
- 工作年限界定：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年按一年计；不满六个月支付半个月工资。
- 月工资定义：指劳动者在合同解除前十二个月的平均工资，含计时/计件工资及奖金、津贴等货币性收入。
示例：
- 若劳动者在公司工作了5年6个月，月平均工资为8000元，则经济补偿金为：5.5年 × 8000元/年 = 44000元。
- 若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍，如当地职工月平均工资为5000元，三倍为15000元，劳动者月工资为20000元，则经济补偿金按15000元计算，且年限最高不超过12年。
总结：公司支付经济补偿金或赔偿金的情形多样，涉及劳动合同的签订、履行、变更及终止等多个环节。在实际操作中，建议公司和劳动者均应遵循相关法律法规，确保合法权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。