用人单位支付经济补偿金和赔偿金的情形主要包括以下几种，我将分别进行说明：
经济补偿金支付情形
协商解除劳动合同：
- 当用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，且是由用人单位提出解除动议时，用人单位需要支付经济补偿金。这是基于双方自愿和平等协商的原则，用人单位为了补偿劳动者因劳动合同解除而可能遭受的损失。
劳动者单方解除劳动合同（用人单位存在过错）：
- 如果用人单位存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为，劳动者有权单方解除劳动合同，并要求用人单位支付经济补偿金。这是为了保护劳动者的合法权益，对用人单位的违法行为进行制裁。
用人单位单方解除劳动合同（非过失性辞退）：
- 在某些特定情况下，如劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；或者劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，用人单位可以单方解除劳动合同，但需要支付经济补偿金。这是为了平衡用人单位和劳动者的利益，确保劳动合同的公平解除。
经济性裁员：
- 当用人单位因经营不善、市场变化等原因需要裁减人员时，如果符合法律规定的条件（如需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，用人单位提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告），可以实施经济性裁员，但需要支付经济补偿金。这是为了保障被裁减劳动者的基本生活，促进社会稳定。
劳动合同终止（特定情形）：
- 除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，如果劳动合同期满终止，或者用人单位被依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者用人单位决定提前解散导致劳动合同终止的，用人单位需要支付经济补偿金。这是为了确保劳动者在劳动合同终止后能够得到一定的经济补偿，减轻其生活压力。
赔偿金支付情形
赔偿金通常是在用人单位存在违法行为，且给劳动者造成损害时支付的。与经济补偿金不同，赔偿金具有惩罚性，旨在制裁用人单位的违法行为并补偿劳动者的损失。具体情形包括：
违法解除或终止劳动合同：
- 如果用人单位违反法律规定解除或者终止劳动合同，如未按照法定程序进行裁员、未提前通知劳动者等，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的数额通常是经济补偿金的两倍，这是为了对用人单位的违法行为进行严厉制裁。
未支付经济补偿金：
- 在某些情况下，如用人单位应当支付经济补偿金而未支付，或者支付的数额不足法定标准，劳动者除了可以要求用人单位补足经济补偿金外，还可以要求用人单位支付额外的赔偿金。这是为了确保劳动者能够获得应得的经济补偿，并制裁用人单位的违法行为。
其他违法行为：
- 如果用人单位存在其他违法行为，如拖欠工资、未缴纳社会保险费等，且给劳动者造成损害的，劳动者也有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的数额根据损害程度和法律规定确定，旨在补偿劳动者的损失并制裁用人单位的违法行为。
总结与建议：
经济补偿金和赔偿金在劳动法律关系中扮演着重要角色，它们分别适用于不同的情形，具有不同的法律性质和目的。作为劳动者，在面临劳动合同解除或终止时，应了解自己的权益和用人单位的义务，及时主张经济补偿金或赔偿金。如果用人单位拒绝支付或支付不足，劳动者可以通过劳动争议仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。