未成年工在工厂受工伤走法律程序时，工厂本身不会直接因工伤事件被罚款，但可能因其他违法行为面临行政处罚。具体分析如下：

1. 工伤赔偿与行政处罚的区分
   根据《工伤保险条例》及《劳动法》，未成年工（16-18周岁）发生工伤后，工厂需承担工伤保险责任，包括支付医疗费、停工留薪期工资、伤残补助等。工伤赔偿属于民事责任范畴，不直接触发行政处罚。但若工厂未依法为未成年工缴纳工伤保险，劳动行政部门可责令补缴并加收滞纳金（《社会保险法》第86条）。

2. 工厂可能面临的行政处罚情形
   若工厂存在以下违法行为，将面临行政处罚：

   • 非法使用童工（未满16周岁）：根据《禁止使用童工规定》，每使用一名童工每月处5000元罚款，并责令限期将童工送回原居住地（《劳动法》第94条、《禁止使用童工规定》第6条）。
     
   • 未对未成年工进行健康检查：根据《未成年工特殊保护规定》，工厂需定期为未成年工安排健康检查，否则可由劳动行政部门责令改正，并处以罚款（《劳动法》第95条）。
     
   • 违反工作时间规定：未成年工每日工作时间不得超过8小时，不得安排夜班或高危作业（《未成年工特殊保护规定》第3-4条）。违反者可能被责令改正并罚款。

3. 法律程序中的关键步骤

   • 工伤认定：需在事故发生后1年内向当地社保部门申请工伤认定（《工伤保险条例》第17条）。
     
   • 劳动能力鉴定：伤情稳定后申请伤残等级鉴定，作为赔偿依据（《工伤保险条例》第21条）。
     
   • 协商/仲裁/诉讼：优先与工厂协商赔偿；协商不成可申请劳动仲裁；对仲裁结果不服可向法院起诉（《劳动争议调解仲裁法》第5条）。

建议行动：

1. 立即向工厂主张工伤赔偿，并要求其配合申请工伤认定；
   
2. 若工厂拒绝赔偿或存在上述违法行为，向当地劳动监察大队举报（电话：12333）；
   
3. 保留劳动合同、工资记录、医疗证明等证据，以备维权使用。
   

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