在此情况下，一般先由公司承担赔偿责任，若公司赔偿后认为员工存在故意或重大过失，可向员工追偿；同时，若车辆所有人（车主）存在过错，也需承担相应责任。具体分析如下：
一、公司承担赔偿责任
职务行为原则：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。这意味着，如果私家车驾驶员是在履行公司职务时撞人，那么公司应当作为赔偿主体，承担因事故造成的人身损害赔偿责任。
赔偿范围：公司需赔偿的范围包括但不限于医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾，还需赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡，则需赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
二、公司向员工追偿
追偿条件：虽然公司需承担赔偿责任，但如果公司能够证明员工在事故中存在故意或重大过失，公司可以在承担赔偿责任后，向员工进行追偿。
追偿范围：追偿的范围通常限于公司因事故而实际支付的赔偿费用。但具体追偿比例和金额，可能需要根据员工的过错程度、公司的损失情况以及双方之间的劳动合同或公司规章制度等因素进行综合判断。
三、车辆所有人的责任
过错责任原则：如果私家车所有人（即车主）在将车辆借给员工使用时，知道或者应当知道车辆存在缺陷（如未购买交强险），且该缺陷是交通事故发生原因之一的，或者知道驾驶人无驾驶资格或者未取得相应驾驶资格的，或者知道驾驶人因饮酒、服用国家管制的精神药品或者麻醉药品，或者患有妨碍安全驾驶机动车的疾病等依法不能驾驶机动车的，车辆所有人也需要承担相应的赔偿责任。
未购买交强险的后果：根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第二条，在中华人民共和国境内道路上行驶的机动车的所有人或者管理人，应当依照《中华人民共和国道路交通安全法》的规定投保机动车交通事故责任强制保险。如果车辆未购买交强险，车辆所有人将面临行政处罚，并且在交通事故发生时，可能需要在交强险责任限额范围内承担赔偿责任（尽管这部分责任在实务中可能因车辆未投保而由车主个人承担，但不影响其作为赔偿主体的地位）。不过，在您描述的情况下，由于公司已作为赔偿主体，车辆所有人的这一责任可能被公司责任所覆盖，但具体还需根据事故情况和法律规定进行判断。