原告和被告不能自行直接去法院终结执行，需通过法定程序提出申请并由法院审查决定。以下是详细解释：

1. 终结执行的法定条件
   根据《民事诉讼法》第2六十四条，执行终结需满足法定情形，例如：

   • 申请人撤销申请（需原告书面提交撤销执行申请书）；
     
   • 据以执行的法律文书被撤销（如判决被再审改判）；
     
   • 被执行人死亡且无遗产可供执行；
     
   • 执行标的灭失（如唯一住房被拆迁且无补偿款）；
     
   • 双方达成和解协议并履行完毕（需提交书面和解协议及履行证明）。
     关键点：终结执行必须基于法定事由，而非双方协商一致即可直接操作。

2. 双方协商终结执行的合法路径
   若原被告希望终结执行，需通过以下步骤：

   • 达成书面和解协议：明确约定履行方式、期限及违约责任（如“被告于2024年12月31日前支付50万元，逾期恢复执行”）；
     
   • 提交法院审查：将和解协议及终结执行申请书交至执行法院，由法官核实协议真实性及履行可能性；
     
   • 法院裁定终结：若协议合法且无损害第三方利益，法院会出具《终结执行裁定书》，执行程序正式终止。
     风险提示：若被告未按和解协议履行，原告可申请恢复执行原生效法律文书，且不受申请时效限制。

3. 自行“终结执行”的常见误区

   • 误区1：双方口头约定不履行后直接撤诉。
     后果：口头约定无法律效力，原告仍可随时申请恢复执行，被告可能面临强制措施（如限制高消费、列入失信名单）。
     
   • 误区2：通过非正规渠道“协调”法院终止执行。
     后果：可能涉嫌干扰司法秩序，情节严重者需承担刑事责任（《刑法》第307条之一）。
     

建议行动步骤：

1. 若双方已达成和解，立即签订书面协议并公证；
   
2. 共同向执行法院提交《终结执行申请书》及和解协议；
   
3. 保留协议履行证据（如转账记录、收条），以防后续争议。
   

如有具体案件细节（如执行标的类型、和解协议内容），可进一步向我咨询，我会结合实务经验提供针对性方案。